Какое максимальное количество задач может задать учитель на дом, чтобы гарантированно кто-то получил двойку в классе

Чтобы решить данную задачу, нужно определить, сколько задач каждый ученик должен выполнить, чтобы гарантированно хотя бы один получил двойку.

Поскольку каждая задача может быть или выполнена, или не выполнена, мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности получения двойки.

Формула для расчета вероятности \(P(k)\) получить ровно \(k\) успешно выполненных задач из \(n\) задач выглядит следующим образом:

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент (количество комбинаций из \(n\) по \(k\)), \(p\) - вероятность успешного выполнения одной задачи, а \(1-p\) - вероятность неуспешного выполнения одной задачи.

Поскольку мы хотим гарантированно получить хотя бы одну двойку, вероятность неудачи должна быть равна нулю. Таким образом, мы должны исключать возможность, что все ученики выполнят все задачи успешно.

Итак, для одного ученика вероятность получить двойку равна:

\[P(2) = (1-p)^{n-2} \times p^2\]

Давайте найдем минимальное количество задач \(n\), при котором эта вероятность станет нулевой. То есть:

\[(1-p)^{n-2} \times p^2 = 0\]

Поскольку \(p\) - вероятность успешного выполнения одной задачи, она должна быть больше нуля. Следовательно, поскольку любое число, возведённое в степень 0, равно 1, равенство будет выполняться только при \((1-p) = 1\). Что означает, что \(p = 0\). Это означает, что мы не должны задавать никаких задач, и вероятность получения двойки будет нулевой. Другими словами, чтобы гарантированно кто-то получил двойку, учитель должен задать хотя бы одну задачу.

Однако, учитывая, что ученики могут иметь разные навыки и уровни предмета, вероятность получения двойки для каждого ученика может быть разной. Поэтому, чтобы гарантированно хотя бы один ученик получил двойку, учитель должен задать приблизительно 2 задачи на каждого ученика.