Какое максимальное количество серверов могло быть в этой сети, если каждый из них отправил одинаковое количество

Предположим, что в сети было \(n\) серверов. Каждый сервер отправил сообщение всем остальным серверам, за исключением себя. То есть каждый сервер отправил сообщение всего \((n-1)\) другим серверам.

Поскольку каждый сервер отправил одинаковое количество сообщений, которые получили все серверы, кроме отправителя, мы можем утверждать, что каждый сервер получил \((n-1)\) сообщений от других серверов. Таким образом, общее количество полученных сообщений равно количеству серверов, умноженному на число сообщений, полученных каждым сервером.

Из задачи известно, что общее количество полученных сообщений составило 140. Поэтому у нас есть уравнение:

\[(n-1) \cdot n = 140\]

Решим это уравнение:

\[(n-1) \cdot n = 140\]
\[n^2 - n = 140\]
\[n^2 - n - 140 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем его решить с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. В этом случае, воспользуемся квадратным уравнением.

Сначала вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 561\]

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получим:

\[n = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{561}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[n = \frac{{1 \pm \sqrt{561}}}{{2}}\]

Таким образом, получаем два возможных значения для количества серверов в сети. Одно значение будет положительным, авторым будет отрицательным, и в данном контексте не имеет смысла.

Если выполняем решение полученного выражения, получим:

\[n = \frac{{1 + \sqrt{561}}}{{2}} \approx 11.82\]

Итак, мы получили, что максимальное количество серверов, которое могло быть в данной сети, равно около 11.82. Однако, поскольку количество серверов должно быть целым числом, мы можем сделать вывод, что максимальное количество серверов в данной сети не превышает 11.

Обоснование:

1) Каждый сервер отправил одинаковое количество сообщений, которые получили все серверы, кроме отправителя. Это означает, что каждый сервер отправил \((n-1)\) сообщений.

2) Общее количество полученных сообщений равно количеству серверов, умноженному на число сообщений, полученных каждым сервером.

3) Используя это, мы получили квадратное уравнение \((n-1) \cdot n = 140\), решив которое получили два возможных значения для количества серверов в сети: 11 и -12. Тем не менее, поскольку количество серверов должно быть положительным, получили, что максимальное количество серверов в сети не превышает 11.