Какое максимальное целое число может быть корнем данного уравнения a^2x^2 + ax + 1 - 21a^2, если оба корня уравнения

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной \(x\). Чтобы найти максимальное целое число, которое может быть корнем данного уравнения, мы должны найти значения параметра \(a\), при которых оба корня являются натуральными числами.

Для начала, давайте решим уравнение по формуле корней. Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) формула корней имеет вид:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае, уравнение имеет вид \(a^2x^2 + ax + 1 - 21a^2 = 0\), поэтому \(a = a^2\), \(b = a\), и \(c = 1 - 21a^2\). Подставим эти значения в формулу корней:

\[x = \frac{{-a \pm \sqrt{{a^2 - 4a^2 \cdot (1 - 21a^2)}}}}{{2a}}\]

Далее, чтобы оба корня были натуральными числами, подкоренное выражение должно быть полным квадратом.

Упростим выражение под корнем:

\[a^2 - 4a^2 \cdot (1 - 21a^2) = a^2 - 4a^2 + 84a^4 = 84a^4 - 3a^2\]

Теперь, мы должны найти такие значения параметра \(a\), при которых \(84a^4 - 3a^2\) является полным квадратом.

Как мы знаем, полный квадрат имеет вид \((ma^2)^2\), где \(m\) - некоторое число. Поэтому, чтобы найти максимальное целое число в качестве корня уравнения, мы должны найти максимальное целое значение параметра \(a\), при котором \(84a^4 - 3a^2\) является полным квадратом.

Лучший способ сделать это - перебрать различные значения параметра \(a\) и проверить, является ли \(84a^4 - 3a^2\) полным квадратом.

Давайте попробуем некоторые значения параметра \(a\) и проверим их:

Для \(a = 1\):

\[84 \cdot 1^4 - 3 \cdot 1^2 = 81 = 9^2\]

Для \(a = 2\):

\[84 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^2 = 1080 = 33^2\]

Для \(a = 3\):

\[84 \cdot 3^4 - 3 \cdot 3^2 = 9072 = 95^2\]

Таким образом, мы видим, что при \(a = 3\) получается наибольшее целое число, которое является корнем исходного уравнения. Это число равно 95.

Итак, максимальное целое число, которое может быть корнем данного уравнения при условии, что оба корня являются натуральными числами, равно 95.