Какое количество времени потребуется каждому рабочему для выполнения этого задания, если двое рабочих, работая вместе

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый рабочий может выполнить задание за $x$ часов, а второй рабочий может выполнить задание за $y$ часов. Также учитывая, что первый рабочий может выполнить задание на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, мы можем записать следующее уравнение:

$$x=y-4$$

Теперь давайте рассмотрим информацию о том, что двое рабочих, работая вместе, выполняют задание за 3 часа и 45 минут. Мы можем перевести это время в часы, чтобы сделать расчеты проще. Так как 1 час 45 минут равен 1.75 часа, мы можем записать следующее уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3.75}$$

Теперь у нас есть система нелинейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{array}{rl}x& =y-4\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}& =\frac{1}{3.75}\end{array}$$

Давайте решим эту систему уравнений. Для начала, мы можем решить первое уравнение относительно $x$:

$$x=y-4$$

Теперь подставим это значение $x$ во второе уравнение:

$$\frac{1}{y-4}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3.75}$$

Умножим обе стороны уравнения на $3.75y(y-4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$3.75y+3.75(y-4)=y(y-4)$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$3.75y+3.75y-15=y^2-4y$$

$$7.5y-15=y^2-4y$$

На данный момент, нам нужно решить квадратное уравнение. Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:

$$y^2-4y-7.5y+15=0$$

$$y^2-11.5y+15=0$$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трехчлена или дискриминанта. Мы здесь выберем дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае, у нас $a=1$, $b=-11.5$, и $c=15$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$$D=(-11.5{)}^2-4\cdot 1\cdot 15$$

Рассчитаем это:

$$D=132.25-60$$

$$D=72.25$$

Теперь, у нас есть дискриминант $D=72.25$. Если $D$ больше нуля, будет два различных решения. Если $D$ равно нулю, будет одно решение. Если $D$ меньше нуля, не будет решений в действительных числах.

Сейчас $D$ больше нуля, поэтому у нас будет два различных решения. Мы можем использовать формулу для нахождения решений квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

В нашем случае, $a=1$, $b=-11.5$, и $D=72.25$. Подставим эти значения:

$$y=\frac{-(-11.5)\pm \sqrt{72.25}}{2\cdot 1}$$

$$y=\frac{11.5\pm 8.5}{2}$$

Теперь рассмотрим два сценария: один с плюсом и один с минусом:

1. При плюсе:
$$y=\frac{11.5+8.5}{2}=\frac{20}{2}=10$$

2. При минусе:
$$y=\frac{11.5-8.5}{2}=\frac{3}{2}=1.5$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $y$: 10 и 1.5 часа.

Мы можем использовать уравнение $x=y-4$, чтобы найти соответствующие значения для $x$:

1. При $y=10$:
$$x=10-4=6$$

2. При $y=1.5$:
$$x=1.5-4=-2.5$$

Заметим, что второе значение $x$ равно -2.5, что не имеет физического смысла в контексте выполнения задания. Поэтому, мы выбираем только первое значение $x=6$.

Итак, $x=6$ и $y=10$, что означает, что первый рабочий может выполнить задание за 6 часов, а второй рабочий может выполнить задание за 10 часов. Время, необходимое каждому рабочему для выполнения этого задания, составляет соответственно 6 и 10 часов.