Какое количество времени потребуется каждому рабочему для выполнения этого задания, если двое рабочих, работая вместе

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый рабочий может выполнить задание за \( x \) часов, а второй рабочий может выполнить задание за \( y \) часов. Также учитывая, что первый рабочий может выполнить задание на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, мы можем записать следующее уравнение:

\[ x = y - 4 \]

Теперь давайте рассмотрим информацию о том, что двое рабочих, работая вместе, выполняют задание за 3 часа и 45 минут. Мы можем перевести это время в часы, чтобы сделать расчеты проще. Так как 1 час 45 минут равен 1.75 часа, мы можем записать следующее уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3.75} \]

Теперь у нас есть система нелинейных уравнений с двумя переменными:

\[
\begin{align*}
x &= y - 4 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{1}{3.75}
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему уравнений. Для начала, мы можем решить первое уравнение относительно \( x \):

\[ x = y - 4 \]

Теперь подставим это значение \( x \) во второе уравнение:

\[ \frac{1}{y - 4} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3.75} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( 3.75y(y-4) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 3.75y + 3.75(y - 4) = y(y - 4) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 3.75y + 3.75y - 15 = y^2 - 4y \]

\[ 7.5y - 15 = y^2 - 4y \]

На данный момент, нам нужно решить квадратное уравнение. Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:

\[ y^2 - 4y - 7.5y + 15 = 0 \]

\[ y^2 - 11.5y + 15 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трехчлена или дискриминанта. Мы здесь выберем дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае, у нас \( a = 1 \), \( b = -11.5 \), и \( c = 15 \). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[ D = (-11.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 \]

Рассчитаем это:

\[ D = 132.25 - 60 \]

\[ D = 72.25 \]

Теперь, у нас есть дискриминант \( D = 72.25 \). Если \( D \) больше нуля, будет два различных решения. Если \( D \) равно нулю, будет одно решение. Если \( D \) меньше нуля, не будет решений в действительных числах.

Сейчас \( D \) больше нуля, поэтому у нас будет два различных решения. Мы можем использовать формулу для нахождения решений квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = -11.5 \), и \( D = 72.25 \). Подставим эти значения:

\[ y = \frac{-(-11.5) \pm \sqrt{72.25}}{2 \cdot 1} \]

\[ y = \frac{11.5 \pm 8.5}{2} \]

Теперь рассмотрим два сценария: один с плюсом и один с минусом:

1. При плюсе:
\[ y = \frac{11.5 + 8.5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

2. При минусе:
\[ y = \frac{11.5 - 8.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( y \): 10 и 1.5 часа.

Мы можем использовать уравнение \( x = y - 4 \), чтобы найти соответствующие значения для \( x \):

1. При \( y = 10 \):
\[ x = 10 - 4 = 6 \]

2. При \( y = 1.5 \):
\[ x = 1.5 - 4 = -2.5 \]

Заметим, что второе значение \( x \) равно -2.5, что не имеет физического смысла в контексте выполнения задания. Поэтому, мы выбираем только первое значение \( x = 6 \).

Итак, \( x = 6 \) и \( y = 10 \), что означает, что первый рабочий может выполнить задание за 6 часов, а второй рабочий может выполнить задание за 10 часов. Время, необходимое каждому рабочему для выполнения этого задания, составляет соответственно 6 и 10 часов.