Какое количество трехзначных положительных чисел присутствует в данной арифметической прогрессии, если сумма первых

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулы для суммы арифметической прогрессии. Давайте посмотрим на обе части задачи по отдельности.

Сначала посмотрим на первую сумму. У нас есть арифметическая прогрессия с неизвестным количеством членов, и сумма первых 17 членов равна 85. Обозначим первый член прогрессии через \(a\) и разность прогрессии через \(d\).

Используя формулу для суммы арифметической прогрессии, мы можем записать первую сумму следующим образом:

\(\frac{n_1}{2} \cdot (2a + (n_1 - 1)d) = 85\),

где \(n_1\) - количество членов в прогрессии.

Аналогичным образом, для второй суммы (суммы первых 21 члена) мы можем записать аналогичное уравнение:

\(\frac{n_2}{2} \cdot (2a + (n_2 - 1)d) = 189\).

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения. Я выберу метод подстановки для этого примера.

Давайте решим первое уравнение относительно \(a\):

\(17a + 8d = 85\).

Теперь мы можем подставить это значение во втором уравнении:

\(\frac{n_2}{2} \cdot (2(85 - 8d) + (n_2 - 1)d) = 189\).

Теперь мы имеем уравнение только с одной неизвестной переменной \(d\). Решим его:

\(n_2(170 - 16d + (n_2 - 1)d) = 378\).

Разрешая это уравнение, мы получаем следующую квадратное уравнение:

\((n_2^2 - 2n_2 + 1 - 16n_2 + 18d)\).

Решим его, используя квадратное уравнение:

\[n_2^2 - 18n_2 + 18d - 1 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для количества членов прогрессии \(n_2\). Мы можем решить его, используя дискриминант или другие методы решения квадратных уравнений, чтобы найти значения для \(n_2\). Затем, используя полученные значения \(n_2\), мы можем найти значения для \(d\).

После того, как мы найдем значения для \(d\) и \(n_2\), мы можем использовать их, чтобы найти значения \(a\). Заметим, что члены последовательности - трехзначные положительные числа, поэтому мы можем проверить, какие значения \(a\), \(d\) и \(n_2\) дают нам трехзначные числа в прогрессии.

В итоге, найдя все эти значения, мы сможем определить количество трехзначных положительных чисел, присутствующих в данной арифметической прогрессии.