Какое количество стеклянных декоративных шариков имеется, если, при условии, что они все разложены по 9 шариков

Давайте разберем задачу и найдем количество стеклянных декоративных шариков. Пусть искомое количество шариков равно \( x \).

Мы знаем, что когда шарики разложены по 9 шариков в каждом пакетике, остается 8 лишних шариков. Это можно записать в виде уравнения:

\[x \equiv 8 \text{ (mod 9)}\]

Также, когда шарики разложены по 8 шариков в каждом пакетике, остается 7 лишних шариков:

\[x \equiv 7 \text{ (mod 8)}\]

И, наконец, когда шарики разложены по 6 шариков в каждом пакетике, остается 5 шариков:

\[x \equiv 5 \text{ (mod 6)}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти \( x \). Давайте использовать китайскую теорему об остатках для этого.

Первый шаг: Решаем систему уравнений \(x \equiv 8 \text{ (mod 9)}\) и \(x \equiv 7 \text{ (mod 8)}\).

У нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
x &\equiv 8 \text{ (mod 9)} \quad \text{(уравнение 1)} \\
x &\equiv 7 \text{ (mod 8)} \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Мы видим, что 8 и 9 не имеют общих делителей, поэтому эта система уравнений имеет решение.

Подставим возможные значения для модуля 8 в уравнение 2, чтобы найти возможные значения для \( x \):

\[
\begin{align*}
x &\equiv 7 \text{ (mod 8)} \\
x &\equiv 15 \text{ (mod 8)} \quad \text{[так как 15 имеет остаток 7 при делении на 8]} \\
x &\equiv 23 \text{ (mod 8)} \\
x &\equiv 31 \text{ (mod 8)} \\
\end{align*}
\]

Теперь, найдем пересечение множества решений для первого и второго уравнений, используя таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Уравнение 1} & \text{Уравнение 2} \\
\hline
x \equiv 8 \text{ (mod 9)} & x \equiv 7 \text{ (mod 8)} \\
\hline
8 & 8 \\
17 & 15 \\
26 & 23 \\
35 & 31 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что пересечение множества решений для обоих уравнений это числа 8 и 35.

Шаг 2: Решаем систему уравнений, включающую \(x \equiv 5 \text{ (mod 6)}\) и одно из найденных значений \(x\):

Мы имеем:

\[
\begin{align*}
x &\equiv 5 \text{ (mod 6)} \quad \text{(уравнение 3)} \\
x &\equiv 8 \text{ (mod 9)} \quad \text{(выбранное значение x)}
\end{align*}
\]

Теперь мы вычислим возможные значения \( x \) для уравнения 3:

\[
\begin{align*}
x &\equiv 5 \text{ (mod 6)} \\
x &\equiv 11 \text{ (mod 6)} \\
x &\equiv 17 \text{ (mod 6)} \\
x &\equiv 23 \text{ (mod 6)} \quad \text{[ответ]} \\
x &\equiv 29 \text{ (mod 6)} \\
x &\equiv 35 \text{ (mod 6)}
\end{align*}
\]

Теперь мы видим, что пересечение множества решений для уравнения 3 и выбранного значения \( x \) равно 23.

Находим окончательное значение \( x = 23 \).

Таким образом, имеется 23 стеклянных декоративных шарика.

Формализуем ответ:

Ответ: количество стеклянных декоративных шариков равно 23.