Какое количество способов есть для окраски квадрата размером 4×4 в цвета черный, красный, синий и белый таким образом, чтобы все клетки внутри квадрата 2×2 были разных цветов? (Исключаем одинаковые раскраски, которые могут быть получены путем поворота, симметричного отражения либо заменой одного цвета на другой)
Осень
Чтобы решить задачу, давайте разделим квадрат на 4 квадрата размером 2×2. У нас есть 4 таких квадрата, и мы можем окрасить каждый из них в один из 4 цветов. Поэтому у нас есть возможных варианта раскраски.
Однако, нам нужно исключить повторяющиеся раскраски, которые могут быть получены путем поворота, симметричного отражения или замены одного цвета на другой. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:
1. Повороты: Если мы окрасили квадрат в соответствии с одним из вариантов раскраски и сделали поворот на 90, 180 или 270 градусов, получим ту же самую раскраску. Таким образом, для каждого варианта раскраски существует 4 поворота, что делает их эквивалентными. Поэтому мы делим общее количество вариантов на 4, чтобы учесть эту эквивалентность.
2. Симметричные отражения: Раскраски, которые могут быть получены путем симметричного отражения относительно горизонтальной или вертикальной оси, также эквивалентны. У нас есть 2 оси симметрии (горизонтальная и вертикальная), поэтому мы делим общее количество вариантов еще на 2.
3. Замена цвета: Наконец, мы должны учесть раскраски, которые могут быть получены путем замены одного цвета на другой. Всего у нас есть 4 цвета, поэтому мы снова делим общее количество вариантов на 4.
Итак, общее количество уникальных способов окрасить квадрат размером 4×4 таким образом, чтобы все клетки внутри квадрата размером 2×2 были разных цветов, вычисляется следующим образом:
Таким образом, существует 8 уникальных способов окрасить данный квадрат размером 4×4 с указанными условиями.
Однако, нам нужно исключить повторяющиеся раскраски, которые могут быть получены путем поворота, симметричного отражения или замены одного цвета на другой. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:
1. Повороты: Если мы окрасили квадрат в соответствии с одним из вариантов раскраски и сделали поворот на 90, 180 или 270 градусов, получим ту же самую раскраску. Таким образом, для каждого варианта раскраски существует 4 поворота, что делает их эквивалентными. Поэтому мы делим общее количество вариантов на 4, чтобы учесть эту эквивалентность.
2. Симметричные отражения: Раскраски, которые могут быть получены путем симметричного отражения относительно горизонтальной или вертикальной оси, также эквивалентны. У нас есть 2 оси симметрии (горизонтальная и вертикальная), поэтому мы делим общее количество вариантов еще на 2.
3. Замена цвета: Наконец, мы должны учесть раскраски, которые могут быть получены путем замены одного цвета на другой. Всего у нас есть 4 цвета, поэтому мы снова делим общее количество вариантов на 4.
Итак, общее количество уникальных способов окрасить квадрат размером 4×4 таким образом, чтобы все клетки внутри квадрата размером 2×2 были разных цветов, вычисляется следующим образом:
Таким образом, существует 8 уникальных способов окрасить данный квадрат размером 4×4 с указанными условиями.
Знаешь ответ?