Какое количество способов есть для окраски квадрата размером 4×4 в цвета черный, красный, синий и белый таким образом

Чтобы решить задачу, давайте разделим квадрат на 4 квадрата размером 2×2. У нас есть 4 таких квадрата, и мы можем окрасить каждый из них в один из 4 цветов. Поэтому у нас есть \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\) возможных варианта раскраски.

Однако, нам нужно исключить повторяющиеся раскраски, которые могут быть получены путем поворота, симметричного отражения или замены одного цвета на другой. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Повороты: Если мы окрасили квадрат в соответствии с одним из вариантов раскраски и сделали поворот на 90, 180 или 270 градусов, получим ту же самую раскраску. Таким образом, для каждого варианта раскраски существует 4 поворота, что делает их эквивалентными. Поэтому мы делим общее количество вариантов на 4, чтобы учесть эту эквивалентность.

2. Симметричные отражения: Раскраски, которые могут быть получены путем симметричного отражения относительно горизонтальной или вертикальной оси, также эквивалентны. У нас есть 2 оси симметрии (горизонтальная и вертикальная), поэтому мы делим общее количество вариантов еще на 2.

3. Замена цвета: Наконец, мы должны учесть раскраски, которые могут быть получены путем замены одного цвета на другой. Всего у нас есть 4 цвета, поэтому мы снова делим общее количество вариантов на 4.

Итак, общее количество уникальных способов окрасить квадрат размером 4×4 таким образом, чтобы все клетки внутри квадрата размером 2×2 были разных цветов, вычисляется следующим образом:

\[
\frac{{4 \times 4 \times 4 \times 4}}{{4 \times 2 \times 4}} = \frac{{256}}{{32}} = 8
\]

Таким образом, существует 8 уникальных способов окрасить данный квадрат размером 4×4 с указанными условиями.