Какое количество различных красных точек на окружности будет, если построить правильные треугольники, четырехугольники

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим каждый многоугольник в отдельности и постепенно подсчитаем количество красных точек.

1. Правильный треугольник: У правильного треугольника на окружности есть 3 вершины, и если мы подходим к проблеме симметрично, мы можем заметить, что количество красных точек на каждой стороне треугольника одинаково. Таким образом, будет 1 красная точка на каждой стороне треугольника. Количество различных красных точек в треугольнике равно 3.

2. Правильный четырехугольник: У четырехугольника боковые стороны имеют ту же самую длину, что и у треугольника, поэтому мы можем использовать тот же самый подход. Опять же, поскольку это правильный многоугольник, у каждой стороны будет по одной красной точке. Однако у нас теперь 4 стороны, поэтому количество различных красных точек в четырехугольнике равно 4.

3. Правильный пятиугольник: Повторяя тот же самый подход, мы можем заметить, что у каждой из 5 сторон правильного пятиугольника будет по одной красной точке. Таким образом, количество различных красных точек в пятиугольнике равно 5.

Продолжая этот шаблон, мы видим, что для правильного n-угольника количество различных красных точек равно n.

Таким образом, если мы построим правильные треугольники, четырехугольники, ..., десятиугольники, вписанные в данную окружность и имеющие подходящую точку, количество различных красных точек будет соответствовать количеству сторон каждого многоугольника, то есть будет равно 3 + 4 + 5 + ... + 10.

Давайте вычислим сумму этой арифметической прогрессии. Используем известную формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a + l)\]

где S - сумма, n - количество элементов в прогрессии, a - первый элемент, l - последний элемент.

В нашем случае количество элементов n равно количеству сторон десятиугольника, то есть 10, первый элемент a равен 3 (соответствующий треугольник), а последний элемент l равен 10 (соответствующий десятиугольник).

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[S = \frac{10}{2}(3 + 10) = \frac{10}{2} \cdot 13 = 5 \cdot 13 = 65\]

Таким образом, количество различных красных точек на окружности будет равно 65.