Какое количество пятизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 и имеющих все различные цифры, существует?

Давайте решим эту задачу вместе!

Мы ищем количество пятизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 и имеющих все различные цифры. Для решения этой задачи будем использовать комбинаторику.

Первая цифра номера должна быть 3, это нам уже задано. Давайте посмотрим на остальные цифры номера. Нам нужно выбрать 4 из оставшихся 9 цифр (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) таким образом, чтобы они были различными. Здесь нам поможет принцип выбора.

Используем принцип выбора "без повторений". Найдем количество способов выбрать 4 цифры из 9. Воспользуемся формулой комбинации:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(C_n^k\) обозначает количество способов выбрать k элементов из n, а ! обозначает факториал.

Применим эту формулу для нашей задачи:

\[
C_9^4 = \frac{{9!}}{{4! \cdot (9-4)!}}
\]

\[
C_9^4 = \frac{{9!}}{{4! \cdot 5!}}
\]

Посчитаем факториалы:

\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
\]

\[
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
\]

Теперь рассчитаем числитель:

\[
9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880
\]

Подставим значения в формулу:

\[
C_9^4 = \frac{{362880}}{{24 \cdot 120}} = \frac{{362880}}{{2880}} = 126
\]

Таким образом, количество пятизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 и имеющих все различные цифры, равно 126.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к ответу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!