Какое количество оборотов и какая средняя угловая скорость были за всё время вращения ротора, если его диаметр

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать ряд формул, связанных с вращательным движением.

Сначала определим количество оборотов и среднюю угловую скорость ротора за всё время вращения.

1. Найдем угловое ускорение \(\alpha\) ротора, используя формулу:
\[\alpha = \frac{{\omega - \omega_0}}{{t}}\],
где \(\omega\) - конечная угловая скорость, \(\omega_0\) - начальная угловая скорость, \(t\) - время.

Так как ротор начинает вращаться из состояния покоя (\(\omega_0 = 0\)) и достигает угловой скорости 40 рад/с, подставим значения в формулу:
\[\alpha = \frac{{40 - 0}}{{t}} = \frac{{40}}{{t}}\].

2. Найдем время, за которое ротор достигает угловой скорости 40 рад/с. Для этого воспользуемся формулой:
\(\omega = \omega_0 + \alpha t\).

Подставим известные значения:
\(40 = 0 + \frac{{40}}{{t}}\).
Произведем рассуждения:
\[\frac{{40}}{{t}} = 40 \implies t = 1\] (секунда).

Таким образом, ротор достигает угловой скорости 40 рад/с за 1 секунду.

3. Найдем количество оборотов, которые ротор делает с угловой скоростью 40 рад/с.
За 1 оборот ротору требуется \(2\pi\) радианов. Таким образом, общий угол поворота за 510 оборотов будет равен:
\(\theta = 510 \times 2\pi\).

4. Определим среднюю угловую скорость ротора за всё время вращения:
\(\bar{\omega} = \frac{\theta}{t}\),
где \(\bar{\omega}\) - средняя угловая скорость, \(\theta\) - угол поворота, \(t\) - время.

Подставим известные значения:
\(\bar{\omega} = \frac{510 \times 2\pi}{1} = 1020\pi\) рад/с.

Таким образом, количество оборотов ротора за всё время вращения равно 510, а средняя угловая скорость равна \(1020\pi\) рад/с.

5. Чтобы определить окружную скорость точек на поверхности ротора через 8 секунд после начала вращения, воспользуемся формулой:
\(v = r \cdot \omega\),
где \(v\) - окружная скорость, \(r\) - радиус (половина диаметра), \(\omega\) - угловая скорость.

Окружная скорость точек на поверхности ротора будет равна:
\[v = \frac{{r \cdot \theta}}{{t}}\],
где \(r = \frac{{200 \mm}}{{2}} = 100 \mm = 0.1 \m\) - радиус ротора, \(\theta\) - угол поворота, \(t = 8 \s\) - время.

Подставим известные значения:
\[v = \frac{{0.1 \m \cdot (510 \cdot 2\pi)}}{{8 \s}} = \frac{{510\pi}}{8} \approx 200.96 \m/\s\].

Таким образом, окружная скорость точек на поверхности ротора через 8 секунд после начала вращения будет приближенно равна \(200.96 \m/\s\).

Надеюсь, ответ понятен и подробен! Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.