Какое количество кувшинок будет в озере через 5 дней, если в начале первого дня в озере было только 648 кувшинок

Данная задача представляет интерес, так как в ней присутствует общий принцип уменьшения количества кувшинок каждый следующий день. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение.

Пусть на первый день в озере было \(a_1\) кувшинок, где \(a_1 = 648\). Используем обозначение, где \(a_n\) - количество кувшинок в озере в \(n\)-ый день. Согласно условию, каждый следующий день количество кувшинок, которые прибавляются, уменьшается в 3 раза по сравнению с предыдущим. То есть, \(a_2 = \frac{a_1}{3}\), \(a_3 = \frac{a_2}{9}\), \(a_4 = \frac{a_3}{27}\) и так далее.

Чтобы определить, сколько кувшинок будет в озере через 5 дней, нам нужно найти значение \(a_6\). Для этого воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

где \(q\) - это знаменатель прогрессии, в нашем случае \(q = \frac{1}{3}\).

Таким образом,

\[a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = 648 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5\]

Подставив значения в данную формулу, получаем:

\[a_6 = 648 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 648 \cdot \frac{1}{243} = \frac{648}{243} = 2.67\]

Ответ: Через 5 дней в озере будет примерно 2.67 кувшинок.

Теперь давайте проверим, является ли последовательность количества кувшинок геометрической прогрессией. Для этого проверим, выполняется ли для любого \(n\) равенство:

\[\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{a_{n+1}}{a_n}\]

В нашей задаче, мы имеем:

\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{a_1}{3}}{a_1} = \frac{1}{3}\]

\[\frac{a_3}{a_2} = \frac{\frac{a_2}{9}}{\frac{a_1}{3}} = \frac{1}{3}\]

\[\frac{a_4}{a_3} = \frac{\frac{a_3}{27}}{\frac{a_2}{9}} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, мы видим, что для всех \(n\), значение отношения равно \(\frac{1}{3}\). Вывод: последовательность количества кувшинок в озере является геометрической прогрессией.