Какое количество конфет было у Светы, если она разделила их с Машей и Олей на 80 частей? Света заметила, что если

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(x\) - это общее количество конфет у Светы.

Согласно условию, конфеты были разделены на 80 равных частей. То есть, каждая девочка получила \(\frac{x}{80}\) конфет.

Теперь посмотрим на первое наблюдение Светы, где она заметила, что если она отдаст свои конфеты Маше и Оле, то каждая из них получит одинаковое количество конфет. Значит, общее количество конфет будет делиться на 3 без остатка. То есть, \(\frac{x}{3}\) должно быть целым числом.

Далее, Света заметила, что если она отдаст все свои конфеты Оле, то она получит в семь раз больше конфет, чем Маша. Это значит, что разница между количеством конфет у Светы и Маши должна быть в 7 раз больше количества конфет, которые получит Оля. Обозначим количество конфет, которое получит Оля, как \(y\). Тогда разница между количеством конфет у Светы и Маши будет равна \(\frac{x}{80} - y\), а разница между количеством конфет у Светы и Оли будет равна \(x - y\).

Таким образом, у нас есть два условия:
1. \(\frac{x}{3}\) должно быть целым числом
2. \(\frac{x}{80} - y = 7 \cdot (\frac{x}{80} - y)\)

Решим первое условие:
Для того чтобы \(\frac{x}{3}\) было целым числом, \(x\) должно делиться на 3 без остатка. Это возможно только если \(x\) само является кратным 3. Давайте обозначим \(x = 3k\), где \(k\) - целое число.

Подставим \(x = 3k\) во второе условие:
\(\frac{3k}{80} - y = 7 \cdot (\frac{3k}{80} - y)\)

Упростим выражение:
\(\frac{3k}{80} - y = \frac{21k}{80} - 7y\)
\(3k - 80y = 21k - 560y\)

Разделим обе части на 3:
\(k - 27y = 7k - 186\)

Перенесем все, что содержит \(k\) влево, а все, что содержит \(y\) вправо:
\(k - 7k = 27y - 186\)
\(-6k = 27y - 186\)

Так как \(k\) и \(y\) должны быть целыми числами, то \(-6k\) также должно быть кратно 6. Пусть \(-6k = 6m\), где \(m\) - целое число.

Выразим \(y\) из уравнения \(-6k = 27y - 186\):
\(6m = 27y - 186\)
\(6m + 186 = 27y\)

Таким образом, мы имеем систему уравнений:
\(
\begin{align*}
x &= 3k \\
y &= \frac{6m + 186}{27}
\end{align*}
\)

Теперь нам нужно найти такие значения \(k\) и \(m\), чтобы \(x\) и \(y\) были положительными и целыми числами. Давайте рассмотрим различные варианты.

Попробуем некоторые значения \(m\), чтобы найти соответствующие значения \(k\) и \(x\).

Пусть \(m = 0\). Тогда \(6m + 186 = 186\).

\[
\begin{align*}
x &= 3k \\
y &= \frac{6m + 186}{27}
\end{align*}
\]

Подставим \(m = 0\):
\[
\begin{align*}
x &= 3k \\
y &= \frac{6 \cdot 0 + 186}{27} = \frac{186}{27} = 6\frac{12}{27} = 6\frac{4}{9}
\end{align*}
\]

Заметим, что \(y\) не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
Попробуем другие значения \(m\).

Пусть \(m = 3\). Тогда \(6m + 186 = 204\).

\[
\begin{align*}
x &= 3k \\
y &= \frac{6m + 186}{27}
\end{align*}
\]

Подставим \(m = 3\):
\[
\begin{align*}
x &= 3k \\
y &= \frac{6 \cdot 3 + 186}{27} = \frac{204}{27} = 7\frac{15}{27} = 7\frac{5}{9}
\end{align*}
\]

Опять же, \(y\) не является целым числом. Продолжим этот процесс для других значений \(m\).

Мы видим, что значения \(y\) не являются целыми числами для любого значения \(m\). Это означает, что задача не имеет решений.

Таким образом, мы не можем найти количество конфет, которые были у Светы согласно условию задачи.