Какое количество компонент связности может быть в графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна либо 22, либо

Для решения данной задачи нам понадобится использовать связь между количеством компонент связности в графе и количеством рёбер в этом графе.

Дано, что граф имеет 18 вершин и степень каждой вершины равна либо 22, либо 55, и присутствуют вершины обеих степеней.

Для начала, посчитаем количество рёбер в графе. Общая формула звучит так: сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер. Таким образом, общее количество рёбер в данном графе составляет \(\frac{22}{2} \cdot n_{22} + \frac{55}{2} \cdot n_{55}\), где \(n_{22}\) - количество вершин со степенью 22, а \(n_{55}\) - количество вершин со степенью 55.

Теперь предположим, что в данном графе есть \(C\) компонент связности. Если каждая компонента связности содержит хотя бы одну вершину со степенью 55, то в каждой такой компоненте нужно иметь как минимум 55 рёбер (так как каждая такая вершина имеет степень 55). Следовательно, всего рёбер в таком графе должно быть не меньше, чем \(55C\).

С другой стороны, общее количество рёбер в графе равно \(\frac{22}{2} \cdot n_{22} + \frac{55}{2} \cdot n_{55}\). Это число должно быть больше или равно \(55C\), чтобы каждая компонента связности имела как минимум одну вершину со степенью 55.

Теперь рассмотрим максимальное значение каждой переменной. Поскольку имеется 18 вершин, то либо все вершины имеют степень 22, либо 16 вершин имеют степень 22, а оставшиеся 2 вершины имеют степень 55. Рассмотрим оба случая:

1) Все вершины имеют степень 22:
Тогда общее количество рёбер равно \(\frac{22}{2} \cdot 18 = 198\).

2) 16 вершин имеют степень 22, а 2 вершины имеют степень 55:
Тогда общее количество рёбер равно \(\frac{22}{2} \cdot 16 + \frac{55}{2} \cdot 2 = 176 + 55 = 231\).

Сравним полученные значения с количеством рёбер, необходимым для каждой компоненты связности:
1) Для \(C = 1\): необходимо как минимум 55 рёбер.
2) Для \(C = 2\): необходимо как минимум 2 \(\cdot\) 55 = 110 рёбер.
3) Для \(C = 3\): необходимо как минимум 3 \(\cdot\) 55 = 165 рёбер.
4) Для \(C = 4\): необходимо как минимум 4 \(\cdot\) 55 = 220 рёбер.
5) Для \(C = 5\): необходимо как минимум 5 \(\cdot\) 55 = 275 рёбер.

Из полученных значений можно сделать вывод, что количество рёбер в графе (198 или 231) не может удовлетворить требованиям каждой компоненты связности, за исключением случая \(C = 1\).

Таким образом, количество компонент связности в данном графе может быть только равно 1.