Какое количество единиц продукции необходимо производить каждый месяц, чтобы получить максимальную прибыль, если

Данная задача предполагает нахождение количества единиц продукции, при котором получается максимальная прибыль.

Для решения этой задачи мы должны установить функцию прибыли и найти ее точку максимума. Первым шагом составим выражение для функции прибыли.

Формула для прибыли: прибыль = доход - издержки производства.

Доход равен цене за единицу продукции, умноженной на количество продукции (q):

\[доход = 500q.\]

Издержки производства (С) состоят из стоимости производства (q) и фиксированных издержек (10):

\[издержки = q^2 + 6q + 10.\]

Теперь, когда у нас есть формулы для дохода и издержек производства, мы можем составить функцию прибыли:

\[прибыль = доход - издержки = 500q - (q^2 + 6q + 10).\]

Чтобы найти количество продукции, при котором прибыль будет максимальной, мы должны найти вершину параболы, которая представляет эту функцию прибыли.

Парабола имеет вид ax^2 + bx + c, где a = -1, b = -6 и c = -10.

Формула для нахождения координат х-координаты вершины параболы: x = -b/2a.

Вычислим значение x:

\[x = -(-6)/(2(-1)) = 3.\]

Теперь найдем значение функции прибыли, подставив найденное значение x в формулу для прибыли:

\[прибыль = 500q - (q^2 + 6q + 10).\]

\[прибыль = 500 \cdot 3 - (3^2 + 6 \cdot 3 + 10).\]

\[прибыль = 1500 - (9 + 18 + 10).\]

\[прибыль = 1500 - 37.\]

\[прибыль = 1463.\]

Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, необходимо производить 3 единицы продукции каждый месяц. При этом прибыль составит 1463 рубля.