Какое из утверждений является верным? Радиус шара, вписанного в куб, равен половине длины ребра куба Радиус окружности

Чтобы определить, какое из утверждений является верным, рассмотрим каждое утверждение по порядку.

1. Утверждение: Радиус шара, вписанного в куб, равен половине длины ребра куба.
Для начала, давайте вспомним, что такое шар и куб. Шар - это трехмерная фигура, все точки на которой находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Куб - это простой трехмерный полиэдр, состоящий из шести квадратных граней.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать связь между радиусом шара и длиной ребра куба.

Предположим, что длина ребра куба равна \(a\). Радиус шара, вписанного в куб, равен половине длины диагонали грани куба. С помощью теоремы Пифагора, мы можем вычислить длину диагонали грани куба:

\[
d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

Следовательно, радиус шара будет равен половине длины диагонали грани:

\[
r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

Таким образом, верным утверждением является: "Радиус шара, вписанного в куб, равен \( \frac{a}{\sqrt{2}} \)".

2. Утверждение: Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен половине длины стороны треугольника.
Для проверки этого утверждения, давайте вспомним, что такое равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны.

Предположим, что сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, будет равен половине длины диагонали треугольника. С помощью теоремы Пифагора, мы можем вычислить длину диагонали треугольника:

\[
d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

Следовательно, радиус окружности будет равен половине длины диагонали:

\[
r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

Таким образом, верным утверждением является: "Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен \( \frac{a}{\sqrt{2}} \)".

3. Утверждение: Любую четырехугольную призму можно описать вокруг цилиндра.
Это утверждение верно. Призма - это геометрическое тело, имеющее два плоских основания, которые параллельны и одинаковы. Цилиндр - это также геометрическое тело, у которого две параллельных плоских основания и образующие, которые являются параллельными.

Четырехугольная призма может быть помещена в цилиндр таким образом, что ее основания будут совпадать с основаниями цилиндра, а вертикальные грани призмы будут параллельны боковой поверхности цилиндра. Таким образом, любую четырехугольную призму можно описать вокруг цилиндра.

4. Утверждение: Радиус шара, вписанного в конус, равен половине высоты конуса.
Для проверки этого утверждения, давайте вспомним, что такое конус. Конус - это трехмерная геометрическая фигура с круглым основанием и вершиной, которая находится выше этого основания.

Предположим, что высота конуса равна \(h\), а радиус шара, вписанного в конус, равен \(r\). Чтобы найти связь между \(r\) и \(h\), нам понадобится теорема Пифагора.

Рассмотрим прямую, соединяющую вершину конуса и центр окружности основания конуса. Эта прямая является высотой конуса. Тогда диагональ основания и высота образуют прямоугольный треугольник.

С помощью теоремы Пифагора в этом прямоугольном треугольнике, мы можем выразить \(h\) через радиус основания конуса \(R\) и радиус шара \(r\):

\[
R^2 = r^2 + h^2
\]

Таким образом, \(h = \sqrt{R^2 - r^2}\).

Получается, что радиус шара, вписанного в конус, зависит от радиуса основания и высоты конуса, а не является половиной высоты конуса. Следовательно, это утверждение неверно.

Итак, из предложенных утверждений только первое и второе являются верными: "Радиус шара, вписанного в куб, равен \( \frac{a}{\sqrt{2}} \)" и "Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равен \( \frac{a}{\sqrt{2}} \)".