Какое из следующих утверждений является верным: sin7x⋅cos7x= sin16x sin20x sin18x sin14x

Для решения данной задачи, давайте вспомним основные тригонометрические тождества, которые нам пригодятся.

1) Удвоение аргумента синуса:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)

2) Сумма аргументов синуса:
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\)

3) Разность аргументов синуса:
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\)

Теперь разберем каждое из предложенных утверждений.

1) \(sin7x \cdot cos7x = sin16x\)

Для начала, применим удвоение аргумента синуса, согласно которому:
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)

Выражение \(sin7x \cdot cos7x\) можно представить в виде:
\(sin7x \cdot cos7x = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot sin7x \cdot cos7x) = \frac{1}{2} \cdot sin(2 \cdot 7x)\)

Теперь, если мы заменим \(\alpha\) в формуле удвоения аргумента на \(7x\), получим:
\(\sin(2 \cdot 7x) = 2 \cdot \sin(7x) \cdot \cos(7x)\)

Следовательно, утверждение \(sin7x \cdot cos7x = sin16x\) является неверным.

2) \(sin7x \cdot cos7x = sin20x\)

Проделаем те же самые шаги, что и в предыдущем случае.

\(sin7x \cdot cos7x = \frac{1}{2} \cdot sin(2 \cdot 7x)\)

Теперь изменим \(\alpha\) на \(14x\) и используем теорему удвоения аргумента синуса:

\(\sin(2 \cdot 14x) = 2 \cdot \sin(14x) \cdot \cos(14x)\)

Следовательно, утверждение \(sin7x \cdot cos7x = sin14x\) является неверным.

3) \(sin7x \cdot cos7x = sin18x\)

Опять же, начнем с выражения \(sin7x \cdot cos7x = \frac{1}{2} \cdot sin(2 \cdot 7x)\)

Изменим \(\alpha\) на \(9x\) и использовать теорему удвоения аргумента синуса:

\(\sin(2 \cdot 9x) = 2 \cdot \sin(9x) \cdot \cos(9x)\)

Следовательно, утверждение \(sin7x \cdot cos7x = sin18x\) является неверным.

4) \(sin7x \cdot cos7x = sin14x\)

Из предыдущих рассуждений мы можем заключить, что это утверждение является верным. Конкретно, \(sin(2 \cdot 7x) = 2 \cdot \sin(7x) \cdot \cos(7x)\).

Таким образом, из всего представленного, единственным верным утверждением является \(sin7x \cdot cos7x = sin14x\).