Какое из следующих утверждений является верным: sin7x⋅cos7x= sin16x sin20x sin18x sin14x

Для решения данной задачи, давайте вспомним основные тригонометрические тождества, которые нам пригодятся.

1) Удвоение аргумента синуса:

\sin (2 α) = 2 \sin (α) \cos (α)

2) Сумма аргументов синуса:

\sin (α + β) = \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β)

3) Разность аргументов синуса:

\sin (α - β) = \sin (α) \cos (β) - \cos (α) \sin (β)

Теперь разберем каждое из предложенных утверждений.

1)

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 16 x

Для начала, применим удвоение аргумента синуса, согласно которому:

\sin (2 α) = 2 \sin (α) \cos (α)

Выражение

s i n 7 x \cdot c o s 7 x

можно представить в виде:

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot s i n 7 x \cdot c o s 7 x) = \frac{1}{2} \cdot s i n (2 \cdot 7 x)

Теперь, если мы заменим

α

в формуле удвоения аргумента на

7 x

, получим:

\sin (2 \cdot 7 x) = 2 \cdot \sin (7 x) \cdot \cos (7 x)

Следовательно, утверждение

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 16 x

является неверным.

2)

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 20 x

Проделаем те же самые шаги, что и в предыдущем случае.

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = \frac{1}{2} \cdot s i n (2 \cdot 7 x)

Теперь изменим

α

на

14 x

и используем теорему удвоения аргумента синуса:

\sin (2 \cdot 14 x) = 2 \cdot \sin (14 x) \cdot \cos (14 x)

Следовательно, утверждение

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 14 x

является неверным.

3)

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 18 x

Опять же, начнем с выражения

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = \frac{1}{2} \cdot s i n (2 \cdot 7 x)

Изменим

α

на

9 x

и использовать теорему удвоения аргумента синуса:

\sin (2 \cdot 9 x) = 2 \cdot \sin (9 x) \cdot \cos (9 x)

Следовательно, утверждение

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 18 x

является неверным.

4)

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 14 x

Из предыдущих рассуждений мы можем заключить, что это утверждение является верным. Конкретно,

s i n (2 \cdot 7 x) = 2 \cdot \sin (7 x) \cdot \cos (7 x)

.

Таким образом, из всего представленного, единственным верным утверждением является

s i n 7 x \cdot c o s 7 x = s i n 14 x

Знаешь ответ?

Алгебра

Алгебра