Какое двузначное число при делении на сумму своих цифр даёт результат 6, а остаток 8? При этом при делении на разность

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть неизвестное двузначное число будет обозначено как \(\overline{AB}\), где \(A\) - десятки, а \(B\) - единицы.

Согласно условию задачи, при делении числа \(\overline{AB}\) на сумму его цифр, которая равна \(A+B\), получается результат 6 с остатком 8. Это можно записать следующим образом:

\[
\frac{{\overline{AB}}}{{A+B}} = 6\ (\text{{частное}}) + 8\ (\text{{остаток}})
\]

Распишем это уравнение:

\[
10A + B = 6(A + B) + 8
\]

Упростим его:

\[
10A + B = 6A + 6B + 8
\]

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[
10A - 6A = 6B - B + 8
\]

Упростим уравнение еще раз:

\[
4A = 5B + 8
\]

Заметим, что оба \(A\) и \(B\) - двузначные числа, а значит они будут лежать в диапазоне от 0 до 9.

Теперь давайте решим второе условие задачи. При делении числа \(\overline{AB}\) на разность его цифр, которая равна \(A - B\), получается результат 24 с остатком 2. Это можно записать следующим образом:

\[
\frac{{\overline{AB}}}{{A - B}} = 24\ (\text{{частное}}) + 2\ (\text{{остаток}})
\]

Распишем это уравнение:

\[
10A + B = 24(A - B) + 2
\]

Упростим его:

\[
10A + B = 24A - 24B + 2
\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[
14B = 24A - 10A + 2
\]

Упростим еще раз:

\[
14B = 14A + 2
\]

Таким образом, у нас получилась система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
4A &= 5B + 8 \\
14B &= 14A + 2
\end{align*}
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти значения \(A\) и \(B\). Чтобы это сделать, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения.

Я воспользуюсь методом исключения. Умножим первое уравнение на 14:

\[
\begin{align*}
56A &= 70B + 112 \\
14B &= 14A + 2
\end{align*}
\]

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

\[
56A - 14B = 70B + 112 - (14A + 2)
\]

Упростим выражение:

\[
56A - 14B = 70B + 112 - 14A - 2
\]

Далее:

\[
70A - 14B = 70B + 110
\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[
70A - 70B - 14B = 110
\]

Упростим его еще раз:

\[
70(A - B) - 14B = 110
\]

Разделим уравнение на 14:

\[
5(A - B) - B = 10
\]

Распишем это уравнение:

\[
5A - 5B - B = 10
\]

Упростим его:

\[
5A - 6B = 10
\]

Теперь решим получившееся уравнение:

\[
5A - 6B = 10
\]

Перепишем его в виде:

\[
5A = 6B + 10
\]

Так как \(A\) и \(B\) являются целыми числами, то левая часть будет делиться на 5, а правая - на 2. Однако справа стоит \(6B + 10\) и 10 не делится на 2. То есть, в данном случае решение для \(A\) и \(B\) не существует.

Таким образом, нет двузначного числа, которое удовлетворяло бы обоим условиям задачи.