Какое должно быть фокусное расстояние f линзы, расположенной на расстоянии f=3 см от экрана, чтобы изображение

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу тонкой линзы:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_о} + \frac{1}{d_и}\),

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_о\) - расстояние от линзы до предмета, а \(d_и\) - расстояние от линзы до изображения.

Из условия задачи, мы знаем, что \(d_о = f + 3\) см и \(d_и = 3\) см.

Подставим эти значения в формулу и найдем \(f\):

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{f + 3} + \frac{1}{3}\).

Для удобства решения, приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{1}{f} = \frac{3 + f}{3(f + 3)} + \frac{f + 3}{3(f + 3)}\).

Теперь объединим дроби:

\(\frac{1}{f} = \frac{f + 3 + 3f}{3(f + 3)}\),

\(\frac{1}{f} = \frac{4f + 3}{3(f + 3)}\).

Умножим обе части уравнения на \(3f(f + 3)\) для удаления знаменателя:

\(3(f + 3) = (4f + 3)f\),

раскроем скобки:

\(3f + 9 = 4f^2 + 3f\),

перегруппируем слагаемые:

\(4f^2 - 3f - 3f - 9 = 0\),

сократим:

\(4f^2 - 6f - 9 = 0\).

Данное квадратное уравнение можно решить, используя дискриминант \(D\):

\(D = b^2 - 4ac\),

где \(a = 4\), \(b = -6\), \(c = -9\).

Вычислим значение дискриминанта:

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 36 + 144 = 180\).

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, то у квадратного уравнения есть два различных вещественных корня. Далее, используем формулу для найдения корней квадратного уравнения:

\(f_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\),

\(f_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения и вычислим:

\(f_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{180}}{2 \cdot 4} = \frac{6 + 6\sqrt{5}}{8} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\),

\(f_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{180}}{2 \cdot 4} = \frac{6 - 6\sqrt{5}}{8} = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{4}\).

Таким образом, возможны два значения фокусного расстояния \(f\):

\(f_1 \approx 1.30\) см,

\(f_2 \approx 0.20\) см.

Ответ: Фокусное расстояние линзы должно быть примерно 1.30 см или 0.20 см.