Какое число прибавили к определенному положительному числу 60 и затем прибавили к результату 103, чтобы в обоих случаях

Пусть исходное число, к которому мы прибавили 60, будет обозначаться как \(x\). В таком случае, первое условие говорит нам, что \(x + 60\) должно быть квадратом целого числа.

Чтобы найти это число, мы можем рассмотреть все возможные значения для \(x\) и проверить, является ли каждое соответствующее значение \(x + 60\) квадратом целого числа.

Проверим значения для \(x\) от 1 и далее:

Для \(x = 1\):
\(1 + 60 = 61\) - не является квадратом целого числа.

Для \(x = 2\):
\(2 + 60 = 62\) - не является квадратом целого числа.

Продолжая подобным образом, упираемся в значение \(x = 30\).
\(30 + 60 = 90\), что не является квадратом целого числа.

Однако, после проверки \(x = 31\):
\(31 + 60 = 91\), и это является квадратом целого числа, так как \(\sqrt{91} \approx 9.54\).

Следовательно, число \(x + 60\), или 91 в данном случае, должно быть квадратом целого числа.

Далее, нам нужно найти число, которое нужно прибавить к 91, чтобы получить квадрат целого числа. Обозначим это число как \(y\).

Таким образом, у нас есть уравнение \(91 + y = z^2\), где \(z\) - целое число.

Мы можем проделать такой же процесс, перебирая возможные значения для \(y\), начиная с 1 и далее:

Для \(y = 1\):
\(91 + 1 = 92\) - не является квадратом целого числа.

Для \(y = 2\):
\(91 + 2 = 93\) - не является квадратом целого числа.

Продолжая проверять, получим:

Для \(y = 10\):
\(91 + 10 = 101\) - не является квадратом целого числа.

Однако, при \(y = 12\):
\(91 + 12 = 103\) - это квадрат целого числа (так как \(\sqrt{103} \approx 10.15\)).

Следовательно, число \(y\), которое нужно прибавить к числу 91, чтобы получить квадрат целого числа, равно 12.

Таким образом, исходное число \(x\) равно \(31\), так как \(x + 60 = 91\) и \(91 + 12 = 103\), и в обоих случаях получаются квадраты целых чисел.