Какое число Петя смог точно назвать, после того как Лена вычислила все возможные попарные суммы пяти натуральных чисел

Для решения данной задачи нам потребуется восстановить исходные пять натуральных чисел, записанных Пашей, и найти ту комбинацию, которая позволила получить указанные попарные суммы.

Обозначим пять чисел, записанных Пашей, как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Исходя из условия задачи, Лена вычислила все возможные попарные суммы этих чисел и получила три различных значения: 43 и 54.

Для начала посмотрим, какие попарные суммы можно получить из заданных чисел:

1. Сумма первых двух чисел: \(a + b\),
2. Сумма первого и третьего чисел: \(a + c\),
3. Сумма первого и четвертого чисел: \(a + d\),
4. Сумма первого и пятого чисел: \(a + e\),
5. Сумма второго и третьего чисел: \(b + c\),
6. Сумма второго и четвертого чисел: \(b + d\),
7. Сумма второго и пятого чисел: \(b + e\),
8. Сумма третьего и четвертого чисел: \(c + d\),
9. Сумма третьего и пятого чисел: \(c + e\),
10. Сумма четвертого и пятого чисел: \(d + e\).

По условию задачи, Лена получила три различных значения попарных сумм: 43 и 54. Значит, существуют три уравнения:

\[
\begin{align*}
a + b & = 43, \\
a + c & = 43 \text{ или } 54, \\
a + d & = 43 \text{ или } 54.
\end{align*}
\]

Мы можем заметить, что первое уравнение содержит только две переменные \(a\) и \(b\), поэтому сразу можем подставить значение 43 для суммы \(a + b\):

\[
a + b = 43 \implies a = 43 - b
\]

Теперь рассмотрим оставшиеся два уравнения. Мы знаем, что сумма \(a + c\) равна 43 или 54. Подставим значение \(a = 43 - b\) и получим:

\[
43 - b + c = 43 \text{ или } 54
\]

Приведём уравнение к более простому виду:

\[
c = b \text{ или } c = 11 + b
\]

Аналогично поступим с уравнением \(a + d = 43 \text{ или } 54\). Подставляем значение \(a = 43 - b\) и получаем:

\[
(43 - b) + d = 43 \text{ или } (43 - b) + d = 54
\]

Приводим уравнение к более простому виду:

\[
d = b \text{ или } d = 11 + b
\]

Таким образом, имеем две системы уравнений:
1. \(c = b\) или \(c = 11 + b\)
2. \(d = b\) или \(d = 11 + b\)

Для каждой системы уравнений найдём все возможные комбинации чисел, удовлетворяющие этим условиям.

Первая система уравнений (\(c = b\) или \(c = 11 + b\)):
- Если \(c = b\), то имеем два равных числа в сумме, что не удовлетворяет условию задачи.
- Если \(c = 11 + b\), то получаем другое число в сумме, что также не удовлетворяет условию задачи.

Вторая система уравнений (\(d = b\) или \(d = 11 + b\)):
- Если \(d = b\), то имеем два равных числа в сумме, что не удовлетворяет условию задачи.
- Если \(d = 11 + b\), то получаем другое число в сумме, что удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, для нашей задачи имеем два варианта комбинаций чисел:
1. \(a = 43 - b\), \(b\), \(c = 11 + b\), \(d = 11 + b\), \(e\).
2. \(a = 43 - b\), \(b\), \(c = b\), \(d = 11 + b\), \(e\).

Мы не можем точно определить числа, которые записал Паша, т.к. условие задачи не ограничивает значения переменных \(b\) и \(e\). Однако мы можем сказать, что комбинации чисел, удовлетворяющие условиям задачи, будут иметь одну из двух форм:

1. \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) (где \(a = 43 - b\), \(c = 11 + b\), \(d = 11 + b\)).
2. \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) (где \(a = 43 - b\), \(c = b\), \(d = 11 + b\)).

Таким образом, Петя может точно назвать любое значение из множества возможных чисел, которые Паша мог записать, но нам не известны конкретные значения чисел без дополнительной информации.