Как можно решить дифференциальное уравнение первого порядка: tg t dt + ds s=0?

Давайте решим это дифференциальное уравнение первого порядка:

\[\tan(t) dt + s \cdot ds = 0\]

Для начала, заметим, что у нас есть две переменные, t и s. Для решения уравнения, нам нужно найти функцию s(t), которая удовлетворяет данному уравнению.

Для решения данного дифференциального уравнения мы будем использовать метод разделения переменных. Прежде всего, разделим уравнение на dt и ds:

\[\frac{{\tan(t)}}{{ds}} + s = 0\]

Перенесем член с ds в правую часть уравнения:

\[\frac{{\tan(t)}}{{ds}} = -s\]

Теперь выразим ds через s и dt:

\[ds = -\frac{{\tan(t)}}{{s}} dt\]

Для решения данного уравнения мы будем интегрировать обе части по соответствующим переменным. Начнем с правой части:

\[\int ds = \int -\frac{{\tan(t)}}{{s}} dt\]

Интегрирование левой части дает нам просто s, а для интегрирования правой части, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть u = s, тогда du = ds. Заменим переменные в интеграле:

\[\int \frac{{- \tan(t)}}{{u}} du\]

Сократим -1 в числителе и получим:

\[\int \frac{{\tan(t)}}{{-u}} du\]

Теперь, воспользуемся таблицей интегралов и найдем антипроизводную функции \( \tan(t) \):

\[ \int \tan(t) dt = -\ln |\cos(t)| + C_1\]

Здесь \( C_1 \) - произвольная постоянная интегрирования. Возвращаясь к исходному уравнению и заполнив найденные значения в интеграле, получим:

\[\int \frac{{\tan(t)}}{{-u}} du = -\ln |\cos(t)| + C_1\]

Теперь, вернемся к замене переменной, чтобы выразить u через s:

\[u = s\]

Теперь, заменим u в полученном интеграле на s:

\[-\ln |\cos(t)| + C_1 = -\ln |\cos(t)| + C_1\]

Таким образом, мы получили решение данного дифференциального уравнения:

\[s = -\ln |\cos(t)| + C_1\]

Здесь \( C_1 \) - произвольная постоянная. Это общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка.