Какое число нам загадали в этот раз, если один из участников команды может показывать фокусы, предлагает загадать число

Данное выражение может помочь нам определить загаданное число в этой задаче. Давайте рассмотрим его шаг за шагом:

\[2 \sin^2(\pi + x) - 2 \cos(240^\circ) - 3 \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) \cos^2(\pi - x)\]

Перейдем к пошаговому решению:

Шаг 1: Раскроем функции синуса и косинуса, используя тригонометрические тождества.

\[2 \sin^2(\pi + x) = 2 \sin^2\pi \cdot \cos^2x + 2 \cos^2\pi \cdot \sin^2x = 2 \cdot 0 \cdot \cos^2x + 1 \cdot \sin^2x = \sin^2x\]

\[- 3 \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) \cos^2(\pi - x) = - 3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos^2(\pi - x) = -3 \cdot 0 \cdot \cos^2(\pi - x) = 0\]

Теперь наше выражение принимает следующий вид:

\[\sin^2x - 2 \cos(240^\circ) - 0\]

Шаг 2: Вычислим значение \(\cos(240^\circ)\) с помощью косинусов и синусов тройного аргумента.

Известно, что \(\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\). Тогда, подставив \(3\theta = 240^\circ\), получаем:

\[\cos(240^\circ) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 4\cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

\[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{(так как \(\frac{\pi}{3}\) соответствует углу 60 градусов, где \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\))}\]

Подставляя это значение, мы получаем:

\[\cos(240^\circ) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{8}\]

Теперь наше выражение принимает следующий вид:

\[\sin^2x - 2 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) - 0 = \sin^2x + \frac{5}{4}\]

Шаг 3: Мы знаем, что \(0 \leq \sin^2x \leq 1\) для любого значения \(x\). Вычитая \(\frac{5}{4}\) из этого выражения, мы получаем значение загаданного числа.

Окончательный ответ:

\[0 \leq \sin^2x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2x - 2 \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) - 0 = \sin^2x + \frac{5}{4}\]

Ответ: загаданное число равно \(\frac{5}{4}\) или \(1 \frac{1}{4}\)