Какое число Федя написал, если Маша нашла три различных значения (93, 96 и 99) попарных сумм этих пяти чисел?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод перебора и систему уравнений. Давайте обозначим пять чисел, написанных Федей, буквами \(а\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(е\). Тогда попарные суммы этих чисел, которые нашла Маша, будут выглядеть так:

\(a + b = 93\)

\(a + c = 96\)

\(a + d = 99\)

\(b + c = 93\)

\(b + d = 96\)

\(c + d = 99\)

Мы получили систему из шести уравнений. Теперь давайте решим ее пошагово.

1. Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

\((a + c) - (a + b) = 96 - 93\)

\((a + d) - (a + b) = 99 - 93\)

Это упрощается до:

\(c - b = 3\) (Уравнение 1)

\(d - b = 6\) (Уравнение 2)

2. Теперь вычтем четвертое уравнение из пятого:

\((b + d) - (b + c) = 96 - 93\)

Это дает:

\(d - c = 3\) (Уравнение 3)

3. Также вычтем первое уравнение из шестого:

\((c + d) - (a + b) = 99 - 93\)

Это даёт:

\(c + d - a - b = 6\) (Уравнение 4)

4. Объединим уравнения 1 и 4:

\(c - b + (c + d - a - b) = 3 + 6\)

\((c - b) + (c + d - a - b) = 9\)

Упрощая получаем:

\(2c + d - a = 9\) (Уравнение 5)

5. Подставим значение \(d - b = 6\) из уравнения 2 в уравнение 5:

\(2c + (d - b) - a = 9\)

\(2c + 6 - a = 9\)

\(\Rightarrow a = 2c - 3\) (Уравнение 6)

6. Теперь заменим значение \(a\) из уравнения 6 в уравнения 1:

\(c - b = 3\)

\(2c - 3 - b = 3\)

\(2c - b = 6\) (Уравнение 7)

7. Наконец, заменим значение \(2c - 3\) из уравнения 6 в уравнение 5:

\(2c + d - (2c - 3) = 9\)

\(d + 3 = 9\)

\(\Rightarrow d = 6\) (Уравнение 8)

Теперь у нас есть значения для \(d\) и \(a\). Подставим их в уравнение 7:

\(2c - b = 6\)

\(2c - b = 6\) (Уравнение 7)

\(2c - 6 = 6\) (подставляем \(b = 0\) - число должно быть разным от \(a\), \(d\))

\(2c = 12\)

\(\Rightarrow c = 6\) (Уравнение 9)

Заменим значения \(c\) и \(d\) обратно в уравнение 1:

\(c - b = 3\)

\(6 - b = 3\)

\(\Rightarrow b = 3\) (Уравнение 10)

Теперь, если мы подставим значения \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 6\), \(d = 6\) и \(е = ?\) в исходные уравнения, мы увидим, что они выполняются:

\(a + b = 93\)

\(a + c = 96\)

\(a + d = 99\)

\(b + c = 93\)

\(b + d = 96\)

\(c + d = 99\)

Таким образом, ответом на задачу является число \(\boxed{е = 0}\).