Какое число будет наименьшим, которое и Таня, и Тоня напишут на доске, возможно не одновременно?

Для решения данной задачи нам необходимо проанализировать все возможные варианты чисел, которые могут быть записаны Таней и Тоней на доске.

По условию, числа могут быть записаны не одновременно, что означает, что каждый из них может записывать число в произвольное время. В таком случае, наименьшее число будет составлено из наименьших цифр, записываемых на доске.

Для начала, рассмотрим все возможные варианты однозначных чисел, которые могут быть записаны. Это числа от 0 до 9. Среди них наименьшим будет число 0, так как оно является наименьшей цифрой.

Если рассмотреть двузначные числа, то чтобы число было наименьшим, необходимо, чтобы первая цифра числа была наименьшей из всех возможных цифр, которые могут быть записаны на доске. А это число 1. Значит, наименьшим двузначным числом будет число 10.

Теперь давайте рассмотрим трехзначные числа. Чтобы число было наименьшим, наиболее важно определить первую цифру числа. Очевидно, что наименьшей цифрой будет 1, так как она наименьшая среди всех цифр от 0 до 9. Таким образом, наименьшим трехзначным числом будет число 100.

Продолжая эту логику, можем сделать вывод, что для любого n-значного числа, наименьшим числом будет n последовательных нулей после 1. То есть, наименьшим 4-значным числом будет 1000, наименьшим 5-значным числом будет 10000, и так далее.

Таким образом, наименьшее число, которое и Таня, и Тоня могут записать на доске, возможно не одновременно, будет состоять из двух цифр - 1 и 0, и будет равно 10.