Какое будет соотношение объемов, если температура повысится до 400К, при условии, что в вертикальном закрытом сверху

Для решения данной задачи воспользуемся законами идеального газа и принципом Архимеда.

1. Законы идеального газа:
- Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален давлению.
- Закон Шарля: при постоянном давлении объем газа пропорционален температуре.

2. Принцип Архимеда:
- При наличии разности сил давления, поршень будет подвержен вертикальной силе подъема, равной весу вытесненного им газа.

Исходя из условия задачи, объем нижней части цилиндра в 3 раза меньше объема верхней части, поэтому для обозначения объема верхней части возьмем переменную \(V\), а для объема нижней части - переменную \(V/3\).

Для начала рассмотрим состояние системы при начальной температуре 300К.
Обозначим давление газа в верхней и нижней частях цилиндра соответственно \(P_1\) и \(P_2\), а массу газа в верхней и нижней частях - \(m_1\) и \(m_2\).
Также обозначим массу поршня \(m_{\text{пор}}\) и разность сил давлений газа \(F_{\text{разн}}\).

Из условия задачи известно, что масса газа в верхней и нижней частях равна, следовательно, \(m_1 = m_2\).

Теперь, приступим к решению задачи.

Шаг 1: Расчет силы давления газа на поршень:
По принципу Архимеда, вертикальная сила подъема равна весу вытесненного газа. Так как для равновесия системы необходимо, чтобы разность сил давления газа уравновешивала вес поршня, можем записать следующее уравнение:
\[F_{\text{разн}} = m_{\text{пор}} \cdot g\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, примем его равным \(9.8\) м/с\(^2\).

По условию задачи, вес поршня уравновешивается разностью сил давлений газа, поэтому
\[F_{\text{разн}} = P_1 \cdot S_1 - P_2 \cdot S_2\]
где \(S_1\) и \(S_2\) - площади кратеров поршня, совпадающих с площадью основания соответствующих частей цилиндра.

Шаг 2: Соотношение давлений \(P_1\) и \(P_2\) при равновесии системы:
Так как масса газа в верхней и нижней частях цилиндра равна (\(m_1 = m_2\)), а вес поршня \(m_{\text{пор}}\) уравновешивается разностью сил давления газа (\(F_{\text{разн}}\)), при равновесии системы выполнено равенство сил давления:
\[P_1 \cdot S_1 = P_2 \cdot S_2\]
Так как объем нижней части цилиндра в 3 раза меньше объема верхней части (\(V/3\) и \(V\) соответственно), площадь основания верхней части цилиндра в 3 раза больше площади основания нижней части:
\[S_1 = 3 \cdot S_2\]
Следовательно, мы можем записать следующее уравнение:
\[P_1 \cdot 3 \cdot S_2 = P_2 \cdot S_2\]

Шаг 3: Закон Бойля-Мариотта и Закон Шарля:
Согласно закону Бойля-Мариотта:
\[P_1 \cdot V = P_2 \cdot (V/3)\]
и закону Шарля:
\[\frac{V}{T_1} = \frac{V/3}{T_2}\]
где \(T_1\) - начальная температура (300К), \(T_2\) - конечная температура (400К).

Раскроем эти уравнения:
\[P_1 \cdot V = \frac{P_2 \cdot V}{3}\]
\[T_1 \cdot V = \frac{T_2 \cdot V}{3}\]

Шаг 4: Нахождение соотношения объемов:
Запишем соотношение давлений из шага 2 в виде \(P_1 = \frac{P_2}{3}\) и подставим его в уравнение из шага 3:
\[\frac{P_2}{3} \cdot V = \frac{P_2 \cdot V}{3}\]
Умножим обе части уравнения на 3:
\[P_2 \cdot V = P_2 \cdot V\]
Мы видим, что \(P_2 \cdot V\) уравновешивает само себя.

Таким образом, при повышении температуры до 400К соотношение объемов газа не изменится и останется прежним, то есть объем нижней части цилиндра будет в 3 раза меньше объема верхней части.