Какое будет отношение высоты h1 к h2, когда диск и обруч с одинаковой массой и радиусами, скатываются

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Поскольку диск и обруч имеют одинаковую массу и радиусы, можно предположить, что их моменты инерции относительно оси вращения также равны. Для скатывания без проскальзывания по горке необходимо, чтобы точка контакта между диском или обручом и поверхностью горки имела нулевую скорость.

Пусть h1 и h2 обозначают высоты начального и конечного положений, соответственно. Запишем потенциальную энергию в начальном и конечном положениях:

$E_{\text{нач}}=m\cdot g\cdot h_1$

$E_{\text{кон}}=m\cdot g\cdot h_2$

Где m - масса диска или обруча, а g - ускорение свободного падения.

Поскольку скорость скатывания одинакова, кинетическая энергия в начальном и конечном положениях также будет одинакова:

$E_{\text{кин, нач}}=E_{\text{кин, кон}}$

Так как моменты инерции диска и обруча равны, можно записать кинетическую энергию в форме момента инерции:

$E_{\text{кин, нач}}=\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{нач}}^2$

$E_{\text{кин, кон}}=\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{кон}}^2$

Где I - момент инерции диска или обруча, ${\omega }_{\text{нач}}$ и ${\omega }_{\text{кон}}$ - угловые скорости в начальном и конечном положениях соответственно.

Так как оба тела скатываются без проскальзывания, связь между линейной и угловой скоростями задается следующим уравнением:

$v=\omega \cdot r$

Где v - линейная скорость, а r - радиус диска или обруча.

Подставим эту связь в выражение для кинетической энергии и приравняем их:

$\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{нач}}^2=\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{кон}}^2$

Сократим общие множители:

${\omega }_{\text{нач}}^2={\omega }_{\text{кон}}^2$

Поскольку моменты инерции равны, угловые скорости также будут равны:

${\omega }_{\text{нач}}={\omega }_{\text{кон}}$

Так как угловая скорость задается формулой:

$\omega =\frac{v}{r}$

А линейная скорость одинакова, получаем:

$\frac{v_{\text{нач}}}{r}=\frac{v_{\text{кон}}}{r}$

Сокращаем радиусы:

$v_{\text{нач}}=v_{\text{кон}}$

Таким образом, мы установили, что скорости в начальном и конечном положениях одинаковы.

Теперь обратимся к потенциальным энергиям. Из закона сохранения механической энергии следует, что сумма потенциальной и кинетической энергий в начальном положении должна быть равна сумме потенциальной и кинетической энергий в конечном положении:

$E_{\text{нач}}+E_{\text{кин, нач}}=E_{\text{кон}}+E_{\text{кин, кон}}$

Подставляем выражения для потенциальной и кинетической энергий:

$m\cdot g\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{нач}}^2=m\cdot g\cdot h_2+\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\omega }_{\text{кон}}^2$

Поскольку угловые скорости равны, можем их выразить через линейные скорости:

$m\cdot g\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\left(\frac{v_{\text{нач}}}{r}\right)}^2=m\cdot g\cdot h_2+\frac{1}{2}\cdot I\cdot {\left(\frac{v_{\text{кон}}}{r}\right)}^2$

Исключаем массу и момент инерции, так как они одинаковы:

$g\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{v_{\text{нач}}}{r}\right)}^2=g\cdot h_2+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{v_{\text{кон}}}{r}\right)}^2$

Также заметим, что линейная скорость задается следующим выражением:

$v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$

Тогда получаем:

$\frac{2\cdot g\cdot h_1}{r^2}=\frac{2\cdot g\cdot h_2}{r^2}$

Сокращаем общие множители и получаем ответ:

$\frac{h_1}{h_2}=1$

Таким образом, отношение высоты h1 к h2 будет равно 1.