Какое будет отношение высоты h1 к h2, когда диск и обруч с одинаковой массой и радиусами, скатываются

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Поскольку диск и обруч имеют одинаковую массу и радиусы, можно предположить, что их моменты инерции относительно оси вращения также равны. Для скатывания без проскальзывания по горке необходимо, чтобы точка контакта между диском или обручом и поверхностью горки имела нулевую скорость.

Пусть h1 и h2 обозначают высоты начального и конечного положений, соответственно. Запишем потенциальную энергию в начальном и конечном положениях:

\(E_{\text{нач}} = m \cdot g \cdot h_1\)

\(E_{\text{кон}} = m \cdot g \cdot h_2\)

Где m - масса диска или обруча, а g - ускорение свободного падения.

Поскольку скорость скатывания одинакова, кинетическая энергия в начальном и конечном положениях также будет одинакова:

\(E_{\text{кин, нач}} = E_{\text{кин, кон}}\)

Так как моменты инерции диска и обруча равны, можно записать кинетическую энергию в форме момента инерции:

\(E_{\text{кин, нач}} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{нач}}^2\)

\(E_{\text{кин, кон}} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{кон}}^2\)

Где I - момент инерции диска или обруча, \(\omega_{\text{нач}}\) и \(\omega_{\text{кон}}\) - угловые скорости в начальном и конечном положениях соответственно.

Так как оба тела скатываются без проскальзывания, связь между линейной и угловой скоростями задается следующим уравнением:

\(v = \omega \cdot r\)

Где v - линейная скорость, а r - радиус диска или обруча.

Подставим эту связь в выражение для кинетической энергии и приравняем их:

\(\frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{нач}}^2 = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{кон}}^2\)

Сократим общие множители:

\(\omega_{\text{нач}}^2 = \omega_{\text{кон}}^2\)

Поскольку моменты инерции равны, угловые скорости также будут равны:

\(\omega_{\text{нач}} = \omega_{\text{кон}}\)

Так как угловая скорость задается формулой:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

А линейная скорость одинакова, получаем:

\(\frac{v_{\text{нач}}}{r} = \frac{v_{\text{кон}}}{r}\)

Сокращаем радиусы:

\(v_{\text{нач}} = v_{\text{кон}}\)

Таким образом, мы установили, что скорости в начальном и конечном положениях одинаковы.

Теперь обратимся к потенциальным энергиям. Из закона сохранения механической энергии следует, что сумма потенциальной и кинетической энергий в начальном положении должна быть равна сумме потенциальной и кинетической энергий в конечном положении:

\(E_{\text{нач}} + E_{\text{кин, нач}} = E_{\text{кон}} + E_{\text{кин, кон}}\)

Подставляем выражения для потенциальной и кинетической энергий:

\(m \cdot g \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{нач}}^2 = m \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega_{\text{кон}}^2\)

Поскольку угловые скорости равны, можем их выразить через линейные скорости:

\(m \cdot g \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot I \cdot \left(\frac{v_{\text{нач}}}{r}\right)^2 = m \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot I \cdot \left(\frac{v_{\text{кон}}}{r}\right)^2\)

Исключаем массу и момент инерции, так как они одинаковы:

\(g \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{v_{\text{нач}}}{r}\right)^2 = g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{v_{\text{кон}}}{r}\right)^2\)

Также заметим, что линейная скорость задается следующим выражением:

\(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\)

Тогда получаем:

\(\frac{2 \cdot g \cdot h_1}{r^2} = \frac{2 \cdot g \cdot h_2}{r^2}\)

Сокращаем общие множители и получаем ответ:

\(\frac{h_1}{h_2} = 1\)

Таким образом, отношение высоты h1 к h2 будет равно 1.