Какое будет изменение высоты поднимающегося поршня и какую работу выполнит система при градуальном нагревании воздуха

Для решения этой задачи мы будем использовать уравнение состояния идеального газа и формулу работы, выполняемой при изохорическом процессе.

Из уравнения состояния идеального газа, \(PV = nRT\), где \(P\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа, мы можем выразить количество вещества \(n\) следующим образом:

\[n = \frac{{PV}}{{RT}}.\]

После этого мы можем использовать формулу работы, выполняемой при изохорическом процессе:

\[W = n C_v (T - T_0),\]

где \(W\) - работа, \(C_v\) - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, \(T\) - конечная температура газа, \(T_0\) - начальная температура газа.

Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем количество вещества газа \(n\).
У нас нет информации о давлении, поэтому мы не можем найти точное значение количества вещества газа. Мы можем предположить, что давление газа постоянно и использовать уравнение состояния идеального газа для нахождения \(n\). Предположим, что давление газа равно 1 атмосфере (101325 Па):

\[n = \frac{{P \cdot V}}{{R \cdot T}} = \frac{{101325 \, Па \cdot 0,06 \, м^2}}{{8,31 \, Дж/(мол \cdot К) \cdot (10+273,15) \, К}} \approx 233,78 \, моль.\]

Шаг 2: Рассчитаем работу \(W\).
Мы знаем, что удельная теплоемкость газа при постоянном объеме \(C_v\) для воздуха примерно равна 20,8 Дж/(моль К). Подставим известные значения в формулу работы при изохорическом процессе:

\[W = n \cdot C_v \cdot (T - T_0) = 233,78 \, моль \cdot 20,8 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot (35 \, К - 10 \, К) \approx 119947,04 \, Дж.\]

Шаг 3: Найдем изменение высоты поднимающегося поршня.
По определению, работа, выполняемая над системой, равна изменению ее внутренней энергии. Так как это изохорический процесс, то внутренняя энергия системы не изменяется. Поэтому работа, выполненная системой, равна потраченной на нагрев энергии:

\[W = Q = \Delta U,\]

где \(Q\) - количество тепла, переданного системе, \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы.

Мы можем выразить потраченное на нагрев энергию в виде выражения:

\[Q = m c \Delta T,\]

где \(m\) - масса воздуха в системе (мы не знаем ее), \(c\) - удельная теплоемкость воздуха, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Мы также можем связать массу воздуха с его плотностью \(\rho\) и объемом \(V\):

\(m = \rho \cdot V.\)

Так как объем системы \(V\) не меняется, то изменение высоты поднимающегося поршня связано с изменением плотности воздуха и можно выразить следующим образом:

\[\Delta h = \frac{{\Delta m}}{{\rho}} = \frac{{Q}}{{c \rho}}.\]

Подставим известные значения:

\[\Delta h = \frac{{119947,04 \, Дж}}{{20,8 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 233,78 \, моль/м^3}} \approx 22,25 \, м.\]

Таким образом, высота поднимающегося поршня изменится примерно на 22,25 метра, а система выполнит работу около 119947,04 Дж.