Каким учитель может получить наибольший результат, складывая все числа, которые он записал в блокнот, вычислив разность

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип математической индукции. Давайте покажем каждый шаг пошагово, чтобы ответ был понятен.

Пусть \(n\) - количество школьников в спортзале. Из условия задачи следует, что нам нужно найти сумму всех разностей в росте между каждой парой школьников.

Шаг 1: Рассмотрим случай, когда в спортзале только два школьника. Пусть их росты равны \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Разность в росте между ними будет \(a - b\).

Шаг 2: Допустим, что для \(n\) школьников формула уже верна и сумма разностей в росте равна \(S_n\). Рассмотрим случай, когда в спортзале появляется еще один школьник, его рост обозначим как \(c\).

Тренер может вставить нового школьника перед каждым из \(n\) существующих школьников или после последнего. Разность в росте между новым школьником и одним из существующих будет составлять \(c - a_i\), где \(a_i\) - рост \(i\)-го школьника из уже имеющихся.

Таким образом, чтобы вычислить сумму разностей в росте для \(n + 1\) школьников, мы должны добавить к сумме \(S_n\) все разности вида \(c - a_i\). Всего таких разностей будет \(n + 1\). То есть, новая сумма разностей будет равна \(S_{n+1} = S_n + (c - a_1) + (c - a_2) + \ldots + (c - a_{n+1})\).

Шаг 3: Мы знаем, что при двух школьниках сумма разностей равна \(a - b\). По рассуждениям выше, мы можем пошагово добавлять школьников и находить сумму разностей для каждого случая. Например, для трех школьников:

\[
\begin{align*}
S_1 &= a - b \\
S_2 &= S_1 + (c - a) + (c - b) = 2c - (a + b) \\
S_3 &= S_2 + (d - a) + (d - b) + (d - c) = 3d - (a + b + c)
\end{align*}
\]

Мы видим, что сумма разностей представляет собой увеличение текущей суммы на количество новых школьников, умноженное на рост каждого нового школьника, и вычитание суммы ростов уже имеющихся школьников.

Шаг 4: Повторяя этот процесс для всех \(n\) школьников, мы наконец получим сумму разностей в росте всех школьников в спортзале.

Итак, чтобы получить наибольший результат, учитель должен сложить все числа, которые он записал в блокнот, используя приведенный выше алгоритм.