Каким образом можно выразить вектор dm через вектора dc, da и ad, если точка m является серединой ребра bc в тетраэдре

Для начала, давайте вспомним некоторые известные факты о векторах в трехмерном пространстве. Векторы можно складывать и умножать на скаляры.

Пусть вектор \(\overrightarrow{dc}\) обозначает смещение от точки d до точки c, вектор \(\overrightarrow{da}\) обозначает смещение от точки d до точки a, а вектор \(\overrightarrow{ad}\) обозначает смещение от точки a до точки d.

Мы хотим выразить вектор \(\overrightarrow{dm}\) через данные векторы. Заметим, что точка m является серединой ребра bc.

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{bm}\). Так как точка m является серединой ребра bc, то \(\overrightarrow{bm}\) будет равен половине вектора \(\overrightarrow{bc}\). Мы можем записать это следующим образом:

\(\overrightarrow{bm} = \frac{1}{2}\overrightarrow{bc}\)

Теперь, мы можем записать вектор \(\overrightarrow{bc}\) через данные векторы, используя теорему о том, что векторная сумма трех векторов равна нулю:

\(\overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ba} + \overrightarrow{ad} + \overrightarrow{dc}\)

Подставим полученное выражение для \(\overrightarrow{bc}\) в выражение для \(\overrightarrow{bm}\):

\(\overrightarrow{bm} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ba} + \overrightarrow{ad} + \overrightarrow{dc})\)

Теперь заметим, что точка m является серединой ребра ab, поэтому \(\overrightarrow{am}\) будет равен половине вектора \(\overrightarrow{ba}\):

\(\overrightarrow{am} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba}\)

Известно, что \(\overrightarrow{am} = \frac{1}{3}\overrightarrow{an}\). Подставим это в полученное выражение:

\(\frac{1}{3}\overrightarrow{an} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba}\)

Теперь можно выразить вектор \(\overrightarrow{ba}\):

\(\overrightarrow{ba} = \frac{3}{2}\overrightarrow{an}\)

Подставим это обратно в выражение для \(\overrightarrow{bm}\):

\(\overrightarrow{bm} = \frac{1}{2}(\frac{3}{2}\overrightarrow{an} + \overrightarrow{ad} + \overrightarrow{dc})\)

Теперь мы можем записать вектор \(\overrightarrow{dm}\) через заданные векторы:

\(\overrightarrow{dm} = \overrightarrow{da} + \overrightarrow{am} = \overrightarrow{da} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ba}\)

Подставим полученное выражение для \(\overrightarrow{ba}\):

\(\overrightarrow{dm} = \overrightarrow{da} + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}\overrightarrow{an})\)

Упростим это выражение:

\(\overrightarrow{dm} = \overrightarrow{da} + \frac{3}{4}\overrightarrow{an}\)

Таким образом, мы выразили вектор \(\overrightarrow{dm}\) через заданные векторы \(\overrightarrow{dc}\), \(\overrightarrow{da}\) и \(\overrightarrow{ad}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{dm} = \overrightarrow{da} + \frac{3}{4}\overrightarrow{an}\)