Каким образом можно вычислить определитель матрицы A по правилу треугольников и разложению по определенной строке

Определитель матрицы \(A\) может быть вычислен по "правилу треугольников" или с использованием разложения по определенной строке или столбцу. Для начала рассмотрим "правило треугольников".

"Правило треугольников" основано на том, что определитель матрицы равен произведению элементов главной диагонали треугольной матрицы, полученной из исходной матрицы путем элементарных преобразований строк или столбцов. Давайте рассмотрим этот метод на примере.

Предположим, у нас есть матрица \(A\) размером \(n \times n\):

\[
A = \begin{{bmatrix}}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{{bmatrix}}
\]

Первым шагом выполним элементарные преобразования строк или столбцов, чтобы привести матрицу \(A\) к треугольному виду. Обратите внимание, что в результате элементарных преобразований определитель матрицы не изменится. Мы можем использовать метод Гаусса или метод приведения к треугольному виду для этого.

После приведения матрицы \(A\) к треугольному виду, матрица будет иметь следующий вид:

\[
A" = \begin{{bmatrix}}
a"_{11} & a"_{12} & \ldots & a"_{1n} \\
0 & a"_{22} & \ldots & a"_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a"_{nn} \\
\end{{bmatrix}}
\]

Теперь мы можем вычислить определитель матрицы \(A\) как произведение элементов главной диагонали матрицы \(A"\):

\[
\det(A) = a"_{11} \cdot a"_{22} \cdot \ldots \cdot a"_{nn}
\]

Это и есть ответ по "правилу треугольников".

Теперь рассмотрим разложение по определенной строке или столбцу. Предположим, что мы хотим вычислить определитель матрицы \(A\) с использованием разложения по первой строке. Мы можем записать определитель как сумму произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

\[
\det(A) = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + \ldots + a_{1n} \cdot A_{1n}
\]

Где \(A_{ij}\) - алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\) матрицы \(A\), определенное как \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\), где \(M_{ij}\) - минор элемента \(a_{ij}\), то есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

То есть для каждого элемента первой строки мы вычисляем соответствующее алгебраическое дополнение и умножаем его на элемент первой строки. Затем мы складываем все такие произведения, чтобы получить определитель матрицы \(A\).

Это и есть ответ с разложением по определенной строке или столбцу.

Оба этих метода позволяют нам вычислить определитель матрицы \(A\). Выбор метода зависит от конкретной ситуации и предпочтений школьника.