Какова длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4см, 5см и 7см?

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для длины окружности \(C\). Эта формула выражается через радиус окружности \(r\) следующим образом:

\[ C = 2 \pi r \]

Однако у нас в задаче даны стороны треугольника, а не радиус окружности. Чтобы найти радиус окружности, нам понадобится рассчитать её радиус \(R\). Для этого вспомним формулу Герона для площади треугольника \(S\) в терминах длин его сторон \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \( p = \frac{{a + b + c}}{2} \) - полупериметр треугольника.

Добиваясь решения, получим следующее:

\[
\begin{align*}
p &= \frac{{4 + 5 + 7}}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\
S &= \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} \approx 9.8 \, \text{см}
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть площадь треугольника \(S\) и известная формула связи площади и радиуса окружности:

\[ S = \pi R^2 \]

Для нахождения радиуса \(R\) сначала возведём площадь в квадрат, а затем разделим на \(\pi\):

\[
\begin{align*}
R^2 &= \frac {S}{\pi} = \frac{9.8}{\pi} \\
R &\approx \sqrt{\frac{9.8}{\pi}} \approx \sqrt{3.120278} \approx 1.768 \, \text{см}
\end{align*}
\]

И наконец, чтобы найти длину окружности \(C\), воспользуемся формулой:

\[ C = 2 \pi R \]

Подставляем полученное значение радиуса \(R\) и рассчитываем:

\[
C = 2 \pi \cdot 1.768 \approx 11.1 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см, примерно равна 11.1 см.