Какова длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами

Question

Математика: Какова длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4см, 5см и 7см?

Ирина · Accepted Answer

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для длины окружности

C

. Эта формула выражается через радиус окружности

r

следующим образом:

C = 2 π r

Однако у нас в задаче даны стороны треугольника, а не радиус окружности. Чтобы найти радиус окружности, нам понадобится рассчитать её радиус

R

. Для этого вспомним формулу Герона для площади треугольника

S

в терминах длин его сторон

a

,

b

и

c

:

S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

где

p = \frac{a + b + c}{2}

- полупериметр треугольника.

Добиваясь решения, получим следующее:

\begin{aligned} p & = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ S & = \sqrt{8 (8 - 4) (8 - 5) (8 - 7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} \approx 9.8 см \end{aligned}

Теперь у нас есть площадь треугольника

S

и известная формула связи площади и радиуса окружности:

S = π R^{2}

Для нахождения радиуса

R

сначала возведём площадь в квадрат, а затем разделим на

π

:

\begin{aligned} R^{2} & = \frac{S}{π} = \frac{9.8}{π} \\ R & \approx \sqrt{\frac{9.8}{π}} \approx \sqrt{3.120278} \approx 1.768 см \end{aligned}

И наконец, чтобы найти длину окружности

C

, воспользуемся формулой:

C = 2 π R

Подставляем полученное значение радиуса

R

и рассчитываем:

C = 2 π \cdot 1.768 \approx 11.1 см

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см, примерно равна 11.1 см.

Какова длина окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 4см, 5см и 7см?