Каким образом можно найти решение задачи коши через применение метода вариации произвольных постоянных

Чтобы найти решение данной задачи Коши, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных. Давайте рассмотрим шаги, необходимые для решения этой задачи.

Шаг 1: Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Однородное уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению, имеет вид:
\[y"" + 3y" + 2y = 0\]

Для решения этого однородного уравнения можно предположить решение вида \(y_h = e^{mx}\), где \(m\) является произвольной константой. Затем мы подставляем это предположение в уравнение и находим характеристическое уравнение:
\[m^2 + 3m + 2 = 0\]
\[(m + 1)(m + 2) = 0\]

Характеристическое уравнение имеет два корня: \(m = -1\) и \(m = -2\). Это означает, что общее решение однородного уравнения имеет вид:
\[y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}\]

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения, мы использовать метод вариации произвольных постоянных. Предположим, что частное решение можно представить в виде:
\[y_p = u_1(x)e^{-x} + u_2(x)e^{-2x}\]

где \(u_1(x)\) и \(u_2(x)\) являются неизвестными функциями, которые нужно определить.

Теперь найдем производные этого предполагаемого частного решения:
\[y_p" = u_1"e^{-x} + u_2"e^{-2x} - u_1e^{-x} - 2u_2e^{-2x}\]
\[y_p"" = (u_1"" - u_1" + u_2"" - 4u_2" + u_1 - 4u_2)e^{-x}\]

Затем подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение:
\[(u_1"" - u_1" + u_2"" - 4u_2" + u_1 - 4u_2)e^{-x} + 3(u_1" - u_1 + u_2" - 2u_2)e^{-x} + 2(u_1e^{-x} + u_2e^{-2x}) = \frac{e^x}{1 + e^{-x}}\]

Шаг 3: Найдем вариации произвольных постоянных.

Следующим шагом, мы найдем вариации произвольных постоянных \(u_1(x)\) и \(u_2(x)\). Для этого вычислим левую и правую части уравнения, разделим на \(e^{-x}\) и приравняем соответствующие коэффициенты:
\[
\begin{cases}
u_1"" - u_1" + u_2"" - 4u_2" + u_1 - 4u_2 = 1
\\
u_1" - u_1 + u_2" - 2u_2 = 0
\end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения \(u_1(x)\) и \(u_2(x)\).

Шаг 4: Найдем частное решение исходного дифференциального уравнения.

Теперь, когда у нас есть значения для \(u_1(x)\) и \(u_2(x)\), мы можем записать частное решение неоднородного уравнения:
\[y_p = u_1(x)e^{-x} + u_2(x)e^{-2x}\]

Полное решение дифференциального уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
\[y = y_h + y_p\]

Чтобы найти значения произвольных постоянных \(C_1\) и \(C_2\) из общего решения, заменим начальные условия \(y(0) = 0\) и \(y""(0) = 0\). Получим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
C_1 + C_2 = 0
\\
- C_1 - 4C_2 = 0
\end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений, получим значения для \(C_1\) и \(C_2\), и затем сможем записать полное решение задачи Коши.

Я надеюсь, что это подробное объяснение поможет вам понять, как решить задачу Коши с использованием метода вариации произвольных постоянных для данного дифференциального уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.