Каким образом изменилось: максимальное ускорение, максимальная скорость и полная механическая энергия, если амплитуда

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим основное уравнение гармонических колебаний, которое связывает ускорение \(a\), скорость \(v\) и координату \(x\) тела:

\[a = -\omega^2 x\]

где \(\omega\) - это угловая частота колебаний, которая определяется формулой:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, а \(m\) - масса тела. Обратите внимание, что угловая частота является постоянной для данной системы.

Теперь предположим, что амплитуда колебаний увеличилась в два раза, то есть, если изначально \(x\) было равно амплитуде \(A\), то после увеличения амплитуды оно станет равным \(2A\).

Мы также знаем, что максимальная скорость \(v_{\text{max}}\) и максимальное ускорение \(a_{\text{max}}\) связаны с амплитудой \(A\) следующим образом:

\[v_{\text{max}} = \omega A\]
\[a_{\text{max}} = \omega^2 A\]

Теперь, когда амплитуда увеличилась в два раза, новая амплитуда будет равна \(2A\), в то время как угловая частота \(\omega\) останется постоянной. Следовательно, выражение для новой максимальной скорости и ускорения будет следующим:

\[v"_{\text{max}} = \omega \cdot 2A = 2\omega A\]
\[a"_{\text{max}} = \omega^2 \cdot 2A = 2\omega^2 A\]

Таким образом, максимальная скорость и максимальное ускорение станут в два раза больше изначальных значений.

Теперь давайте рассмотрим полную механическую энергию \(E\) системы гармонических колебаний. Она определяется следующим образом:

\[E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2\]

Если амплитуда увеличивается в два раза, то новое значение амплитуды будет равно \(2A\), что означает, что новое значение координаты \(x\) будет равно \(2A\). Аналогично, новое значение максимальной скорости \(v"_{\text{max}}\) будет равно \(2\omega A\).

Теперь, заменяя новые значения в формулу для полной механической энергии, получаем:

\[E" = \frac{1}{2} k (2A)^2 + \frac{1}{2} m (2\omega A)^2\]
\[E" = 4 \left(\frac{1}{2} k A^2\right) + 4 \left(\frac{1}{2} m \omega^2 A^2\right)\]
\[E" = 2k A^2 + 2m \omega^2 A^2\]

Таким образом, полная механическая энергия после увеличения амплитуды в два раза станет в два раза больше изначального значения.

Итак, для данной системы гармонических колебаний, при увеличении амплитуды в два раза, максимальное ускорение и максимальная скорость увеличиваются в два раза, а полная механическая энергия увеличивается в два раза.