Каким должно быть значение x, чтобы значения x + 1, x + 5 и 2x + 4 были последовательными членами геометрической

Конечно! Чтобы значения \(x + 1\), \(x + 5\) и \(2x + 4\) были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы их отношения были постоянными.

Давайте разберемся в этом пошагово.

1. Представим себе, что \(x + 1\) - первый член, \(x + 5\) - второй член, \(2x + 4\) - третий член геометрической прогрессии.

2. Теперь, чтобы определить, каким должно быть значение \(x\), мы рассмотрим отношение между вторым и первым членами. Это отношение можно получить, разделив второй член на первый:

\(\frac{{x + 5}}{{x + 1}}\)

3. Также мы рассмотрим отношение между третьим и вторым членами:

\(\frac{{2x + 4}}{{x + 5}}\)

4. Теперь у нас есть два выражения для отношения. Они должны быть равными, так как значения должны быть последовательными членами геометрической прогрессии. Поставим их равными между собой и решим уравнение.

\(\frac{{x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 4}}{{x + 5}}\)

5. Чтобы решить этот тип уравнения, начните с умножения обоих сторон на \((x + 1)(x + 5)\), чтобы избавиться от знаменателей. После упрощения, получим:

\((x + 5)(x + 5) = (2x + 4)(x + 1)\)

\(x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4\)

6. Теперь объединим все члены в одну сторону уравнения. Вычитаем \(2x^2 + 6x + 4\) из обеих сторон:

\(0 = x^2 + 10x + 25 - (2x^2 + 6x + 4)\)

\(0 = -x^2 + 4x + 21\)

7. Приведем уравнение к квадратному виду. Чтобы найти значения \(x\), решим это квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 21\).

\(D = 4^2 - 4(-1)(21)\)
\(D = 16 + 84\)
\(D = 100\)

8. Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два корня уравнения. Мы можем использовать формулу для нахождения этих корней:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)

\(x = \frac{{-4 \pm \sqrt{100}}}{{2(-1)}}\)

\(x = \frac{{-4 \pm 10}}{{-2}}\)

Теперь решим уравнение для обоих значений \(x\).

9. При \(x = \frac{{-4 + 10}}{{-2}} = -\frac{{6}}{{-2}} = 3\) мы получаем первое значение \(x\).

Подставляя \(x = 3\) в исходные выражения, найдем значения трех последовательных членов геометрической прогрессии:

Первый член: \(x + 1 = 3 + 1 = 4\)

Второй член: \(x + 5 = 3 + 5 = 8\)

Третий член: \(2x + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10\)

Таким образом, когда \(x = 3\), значения 4, 8 и 10 являются последовательными членами геометрической прогрессии.