Каким должно быть значение λ, чтобы сечение тетраэдра плоскостью MNP стало параллелограммом?

Чтобы сечение тетраэдра стало параллелограммом, важно, чтобы плоскость сечения проходила параллельно двум из его граней. В данном случае нам известны точки M, N и P, задающие плоскость сечения. Чтобы определить значение λ, необходимо найти уравнение плоскости MNP, а затем определить условие параллельности плоскости сечения этой плоскости.

1. Найдем уравнение плоскости MNP.
Пусть M(x₁, y₁, z₁), N(x₂, y₂, z₂) и P(x₃, y₃, z₃) - известные координаты точек M, N и P соответственно. Тогда векторная форма уравнения плоскости MNP будет выглядеть следующим образом:
\[\vec{MN} \times \vec{MP} = \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{M}),\]
где \vec{n} - нормальный вектор плоскости MNP, а \vec{r} - произвольный точка с радиус-вектором (x, y, z).

2. Векторное произведение \vec{MN} \times \vec{MP}:
\[\vec{MN} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁),\]
\[\vec{MP} = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁).\]
Вычислим их векторное произведение:
\[\vec{MN} \times \vec{MP} = ((y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₂ - z₁)(y₃ - y₁), (z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁), (x₂ - x₁)(y₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)).\]

3. Запишем уравнение плоскости MNP в координатной форме:
\[\vec{n} \cdot \vec{r} = \vec{n} \cdot \vec{M},\]
где \vec{n} - (A, B, C) - нормальный вектор плоскости MNP.

4. Подставим координаты точки M в уравнение плоскости:
\[A \cdot x₁ + B \cdot y₁ + C \cdot z₁ = A \cdot x₁ + B \cdot y₁ + C \cdot z₁.\]

5. Раскроем скалярное произведение \vec{n} \cdot \vec{M}:
\[A \cdot x₁ + B \cdot y₁ + C \cdot z₁ = 0.\]

Таким образом, уравнение плоскости MNP имеет вид:
\[A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D = 0,\]
где A, B и C - координаты вектора \vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MP}, а D = - (A \cdot x₁ + B \cdot y₁ + C \cdot z₁).

6. Для того, чтобы плоскость сечения MNP стала параллелограммом, она должна быть параллельна двум граням тетраэдра. Параллельность плоскости сечения и грани тетраэдра означает, что нормальный вектор плоскости сечения должен быть параллелен нормальному вектору грани.

7. Предположим, что значения координат вектора нормали грани тетраэдра равны (a, b, c). Тогда условие параллельности плоскости сечения и грани будет иметь вид:
\[A = \pm a, \quad B = \pm b, \quad C = \pm c.\]

Таким образом, чтобы сечение тетраэдра плоскостью MNP стало параллелограммом, необходимо выбрать значения для λ такие, чтобы координаты вектора \vec{n} были пропорциональны (a, b, c). Зная координаты грани тетраэдра, можно выразить a, b и c и подставить их в выражения для A, B и C в уравнении плоскости MNP. Это позволит найти значения λ.

Обратите внимание, что конкретные значения a, b, c, x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, x₃, y₃, z₃ не указаны в задаче, поэтому необходимо использовать фактические значения координат точек M, N и P для нахождения конкретного значения λ.