Каким будет закон распределения случайной величины, если арифметическая прогрессия состоит из четырех членов, причем

Для решения данной задачи нам потребуется выразить каждый член арифметической прогрессии через её первый член \(a_1\) и её разность \(d\). Пусть первый член равен \(a_1\), тогда второй член будет \(a_1 + d\), третий — \(a_1 + 2d\), а четвертый — \(a_1 + 3d\).

По условию, средние члены равны 8 и 12, то есть имеем следующие равенства:

\[a_1 + d = 8\]
\[a_1 + 2d = 12\]

Из первого уравнения находим, что \(a_1 = 8 - d\). Подставим это значение во второе уравнение:

\[8 - d + 2d = 12\]

Решаем уравнение и находим значение разности:

\[d = 4\]

Теперь, зная значения первого члена \(a_1 = 8 - d = 8 - 4 = 4\) и разности \(d = 4\), мы можем выразить каждый член арифметической прогрессии:

\[a_1 = 4\]
\[a_2 = 4 + 4 = 8\]
\[a_3 = 4 + 2 \cdot 4 = 12\]
\[a_4 = 4 + 3 \cdot 4 = 16\]

Теперь давайте найдем вероятности каждого члена арифметической прогрессии. По условию задачи, вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов. Обозначим вероятность первого и последнего членов через \(p\), а вероятность средних (второго и третьего) членов через \(4p\).

Так как сумма вероятностей всех членов арифметической прогрессии равна 1, мы можем записать следующее уравнение:

\[p + 4p + 4p + p = 1\]

Решаем уравнение и находим значение вероятности:

\[10p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{10}\]

Теперь у нас есть значения вероятностей для каждого члена арифметической прогрессии:

\[P(a_1) = P(4) = p = \frac{1}{10}\]
\[P(a_2) = P(8) = 4p = 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{5}\]
\[P(a_3) = P(12) = 4p = \frac{2}{5}\]
\[P(a_4) = P(16) = p = \frac{1}{10}\]

Таким образом, закон распределения случайной величины будет следующим:

\[P(X = 4) = \frac{1}{10}\]
\[P(X = 8) = \frac{2}{5}\]
\[P(X = 12) = \frac{2}{5}\]
\[P(X = 16) = \frac{1}{10}\]

Мы получили закон распределения случайной величины: случайная величина \(X\) имеет значения 4, 8, 12 и 16 с вероятностями \(\frac{1}{10}\), \(\frac{2}{5}\), \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{1}{10}\) соответственно.