Какие значения x являются точками экстремума для функции у=х^4-8х^2+5?

Хорошо, давайте начнем с решения этой задачи. Чтобы найти значения x, при которых функция y достигает экстремума, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем первую производную функции у. Для этого возьмем производную каждого слагаемого и выразим ее в виде функции x:
\[y" = \frac{{d}}{{dx}}(x^4 - 8x^2 + 5)\]

Производная слагаемого \(x^4\) равна:
\[\frac{{d}}{{dx}}(x^4) = 4x^3\]

Производная слагаемого \(-8x^2\) равна:
\[\frac{{d}}{{dx}}(-8x^2) = -16x\]

Так как константа 5, то ее производная равна 0:
\[\frac{{d}}{{dx}}(5) = 0\]

Шаг 2: Сложим полученные производные слагаемых, чтобы получить производную функции y:
\[y" = 4x^3 - 16x + 0\]
\[y" = 4x^3 - 16x\]

Шаг 3: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:
\[4x^3 - 16x = 0\]

Шаг 4: Решим это уравнение для x. Приведем его к виду:
\[4x(x^2 - 4) = 0\]

Теперь у нас есть два множителя: x и \(x^2 - 4\). Разобьем уравнение на два уравнения, чтобы найти значения x:

\[
\begin{align*}
4x &= 0 \\
x^2 - 4 &= 0
\end{align*}
\]

Решим первое уравнение:
\[4x = 0\]
\[x = 0\]

Решим второе уравнение:
\[x^2 - 4 = 0\]
\[(x - 2)(x + 2) = 0\]

Таким образом, получаем два значения x: \(x = 2\) и \(x = -2\).

Эти две точки, x = 2 и x = -2, являются точками экстремума для функции y = \(x^4 - 8x^2 + 5\). В точке x = 2 функция достигает локального минимума, а в точке x = -2 - локального максимума.

Надеюсь, это пояснение помогло вам понять, как найти значения x, являющиеся точками экстремума для данной функции.