Какие значения x удовлетворяют уравнению tgx=−4 и находятся в пределах отрезка (−3π/2; 3π/2)?

Хорошо, чтобы решить уравнение \(\tan(x) = -4\) и найти значения \(x\) в пределах от \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), мы можем использовать график тангенса и его основные свойства. Давайте начнем.

1. Нарисуем график функции тангенса:
Мы знаем, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому он будет иметь вертикальные асимптоты в точках \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots\). Возможно, что в нашем случае значения \(x\) будут близки к \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).

2. Изучим возможное значение тангенса:
Уравнение \(\tan(x) = -4\) говорит нам, что отношение синуса к косинусу равно -4. Из этого следует, что значения \(x\) должны находиться во втором и четвертом квадрантах, так как там тангенс ориентирован отрицательно.

3. Рассмотрим значения \(x\) в пределах \(-\frac{3\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\):
Поскольку мы рассматриваем только значения \(x\) в этом интервале, нам не нужно учитывать вертикальные асимптоты и прочие значения функции тангенса, находящиеся за пределами этого интервала. Таким образом, мы можем ограничиться только значением \(x\) между \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).

4. Вычислим значения \(x\):
Для нахождения всех значений \(x\) удовлетворяющих уравнению \(\tan(x) = -4\) в интервале \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), мы можем воспользоваться тем, что функция тангенс имеет период \(\pi\). То есть, если у нас есть какое-то значение \(x\) для которого \(\tan(x) = -4\), то мы можем прибавить или вычесть любое целое число умноженное на \(\pi\), и получим еще одно значение удовлетворяющее уравнению.

Рассмотрим первое значение \(x\) такое, что \(\tan(x) = -4\) в интервале \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), например \(x_0 = \arctan(-4)\). Получаем \(x_0 \approx -1.3258\).

Теперь добавим \(\pi\) и вычтем \(\pi\) из \(x_0\), чтобы получить еще два значения: \(x_1 = x_0 + \pi\) и \(x_2 = x_0 - \pi\). В данном случае \(x_1 \approx 1.8158\) и \(x_2 \approx -4.4674\).

Мы можем продолжать добавлять или вычитать \(\pi\) для получения новых значений, пока эти значения остаются в пределах от \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), но в этом диапазоне только три значения \(x\) удовлетворяют уравнению \(\tan(x) = -4\).

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\tan(x) = -4\) и находящиеся в пределах от \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), равны примерно:
\[x_0 \approx -1.3258\]
\[x_1 \approx 1.8158\]
\[x_2 \approx -4.4674\]

Надеюсь, это помогло вам понять, как получить значение \(x\), удовлетворяющее уравнению в данном пределе. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.