Какие значения x удовлетворяют уравнению tgx=−4 и находятся в пределах отрезка (−3π/2; 3π/2)?

Хорошо, чтобы решить уравнение $\tan (x)=-4$ и найти значения $x$ в пределах от $-\frac{3\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$, мы можем использовать график тангенса и его основные свойства. Давайте начнем.

1. Нарисуем график функции тангенса:
Мы знаем, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому он будет иметь вертикальные асимптоты в точках $\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\dots$. Возможно, что в нашем случае значения $x$ будут близки к $-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$.

2. Изучим возможное значение тангенса:
Уравнение $\tan (x)=-4$ говорит нам, что отношение синуса к косинусу равно -4. Из этого следует, что значения $x$ должны находиться во втором и четвертом квадрантах, так как там тангенс ориентирован отрицательно.

3. Рассмотрим значения $x$ в пределах $-\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$:
Поскольку мы рассматриваем только значения $x$ в этом интервале, нам не нужно учитывать вертикальные асимптоты и прочие значения функции тангенса, находящиеся за пределами этого интервала. Таким образом, мы можем ограничиться только значением $x$ между $-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$.

4. Вычислим значения $x$:
Для нахождения всех значений $x$ удовлетворяющих уравнению $\tan (x)=-4$ в интервале $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, мы можем воспользоваться тем, что функция тангенс имеет период $\pi$. То есть, если у нас есть какое-то значение $x$ для которого $\tan (x)=-4$, то мы можем прибавить или вычесть любое целое число умноженное на $\pi$, и получим еще одно значение удовлетворяющее уравнению.

Рассмотрим первое значение $x$ такое, что $\tan (x)=-4$ в интервале $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, например $x_0=\arctan (-4)$. Получаем $x_0\approx -1.3258$.

Теперь добавим $\pi$ и вычтем $\pi$ из $x_0$, чтобы получить еще два значения: $x_1=x_0+\pi$ и $x_2=x_0-\pi$. В данном случае $x_1\approx 1.8158$ и $x_2\approx -4.4674$.

Мы можем продолжать добавлять или вычитать $\pi$ для получения новых значений, пока эти значения остаются в пределах от $-\frac{3\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$, но в этом диапазоне только три значения $x$ удовлетворяют уравнению $\tan (x)=-4$.

Итак, значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\tan (x)=-4$ и находящиеся в пределах от $-\frac{3\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$, равны примерно:
$$x_0\approx -1.3258$$
$$x_1\approx 1.8158$$
$$x_2\approx -4.4674$$

Надеюсь, это помогло вам понять, как получить значение $x$, удовлетворяющее уравнению в данном пределе. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.