Какие значения x удовлетворяют уравнению 5sin^2x-12sinx+4=0?

Для решения данного квадратного уравнения относительно \( \sin x \) можно использовать замену. Давайте обозначим \( \sin x = t \). Тогда уравнение примет вид:
\[ 5t^2 - 12t + 4 = 0 \]

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \). Для уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) коэффициенты равны: \( a = 5, b = -12, c = 4 \).

Вычислим значение дискриминанта:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Чтобы найти значения \( t \), решим уравнение \( 5t^2 - 12t + 4 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

Подставим выражение для \( a, b, D \):
\[ t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 \pm 8}{10} \]

Разложим это на два случая:

1. Подставим верхний знак "плюс":
\[ t_1 = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2 \]
2. Подставим нижний знак "минус":
\[ t_2 = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Теперь найдем значения \( x \). Вспомним, что \( \sin x = t \). Применим обратную функцию синуса к обоим значениям \( t \):
\[ x_1 = \arcsin(2) \approx 1.5708 \]
\[ x_2 = \arcsin\left(\frac{2}{5}\right) \approx 0.4115 \]

Получаем два значения \( x \), которые удовлетворяют уравнению \( 5\sin^2x-12\sin{x}+4=0 \):
\[ x_1 \approx 1.5708 \]
\[ x_2 \approx 0.4115 \]