Какие значения x удовлетворяют уравнению: 2sin(2x-п/4)sin п/6=1?

Данное уравнение 2sin(2x-π/4)sin(π/6) = 1 может быть решено, используя несколько шагов.

Шаг 1: Упрощение уравнения

В данном случае у нас есть произведение двух функций синуса, поэтому мы можем применить формулу синуса двойного угла \(sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)\). Применяя эту формулу, уравнение преобразуется следующим образом:

\(2sin(2x-π/4)sin(π/6) = 1 \Rightarrow 2(2sin(x)\cdot cos(x-\frac{π}{4}))\cdot\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow sin(x)\cdot cos(x-\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}\)

Шаг 2: Использование формулы произведения синусов

Мы можем использовать формулу произведения синусов \(sin(a)sin(b) = \frac{1}{2}(cos(a-b)-cos(a+b))\) для упрощения уравнения:

\(sin(x)\cdot cos(x-\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}(cos(x-\frac{π}{4}-x)-cos(x+\frac{π}{4}+x)) = \frac{1}{2}\)

Это уравнение дает нам следующую систему:

\(\frac{1}{2}(cos(-\frac{π}{4})-cos(2x+\frac{π}{4})) = \frac{1}{2}\)

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь мы можем продолжить с решением этого уравнения. Для начала, упростим выражение внутри скобок:

\(\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}-cos(2x+\frac{π}{4})) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}cos(2x+\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}\)

Теперь, приравняем выражение в скобках к нулю и решим полученное уравнение:

\(\frac{1}{2}cos(2x+\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow cos(2x+\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Так как функция косинуса равна \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) при угле \(\frac{π}{4}\), мы можем записать следующее:

\(2x+\frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2πn\) или \(2x+\frac{π}{4} = \frac{3π}{4} + 2πn\), где \(n\) является целым числом.

Шаг 4: Нахождение значений \(x\)

Теперь, решим уравнения для \(x\):

Для первого уравнения:
\(2x+\frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2πn\)
\(2x = 2πn\)
\(x = πn\)

Для второго уравнения:
\(2x+\frac{π}{4} = \frac{3π}{4} + 2πn\)
\(2x = \frac{2π}{2} + 2πn\)
\(x = \frac{π}{2} + πn\)

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие данному уравнению, имеют вид \(x = πn\) или \(x = \frac{π}{2} + πn\), где \(n\) является целым числом.

Надеюсь, что ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!