Какие значения Р являются натуральными числами, при которых дробь (46/5р+16) будет несократимой?

Чтобы найти значения \(P\), при которых дробь \(\frac{46}{5P+16}\) будет несократимой, нужно установить, когда у нее нет общих делителей, кроме 1.

Для начала, давайте вынесем общий множитель из числителя и знаменателя и упростим дробь. Общий множитель действительно есть:

\(\frac{46}{5P+16} = \frac{2 \cdot 23}{(5P+8) + 8}\)

Теперь давайте рассмотрим вторую дробь и попытаемся определить, при каких значениях \(P\) ее знаменатель будет иметь делители, отличные от 1 и самого себя. Здесь мы ищем значения \(P\), при которых \(5P+16\) будет иметь общие делители.

Мы знаем, что числа 5 и 16 являются натуральными числами, поэтому их сумма \(5P+16\) также будет натуральным числом, независимо от значения \(P\). Теперь нам нужно определить, какие значения \(P\) приведут к возникновению общих делителей в этом выражении.

Чтобы дробь была несократимой, значения \(P\) должны быть такими, что у \(5P+16\) нет общих делителей, кроме 1. Другими словами, мы ищем значения \(P\), при которых \(5P+16\) будет простым числом.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть \(P=1\). Тогда \(5P+16 = 5 \cdot 1 + 16 = 21\). Число 21 не является простым, поскольку оно имеет делители 3 и 7.

2. Пусть \(P=2\). Тогда \(5P+16 = 5 \cdot 2 + 16 = 26\). Число 26 также не является простым, поскольку оно имеет делители 2 и 13.

3. Пусть \(P=3\). Тогда \(5P+16 = 5 \cdot 3 + 16 = 31\). Число 31 является простым числом, поскольку оно не имеет делителей, отличных от 1 и самого себя.

Таким образом, единственным натуральным значением \(P\), при котором дробь \(\frac{46}{5P+16}\) будет несократимой, является \(P=3\).