Какие значения принимают коэффициенты a, b и c для квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c при условии

Давайте разберемся с задачей. У нас есть квадратный трехчлен \(f(x) = ax^2 + bx + c\) и условия |f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 4 и a > 0.

Для начала, давайте подставим значения \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 3\) в \(f(x)\) и посмотрим, что получится.

Подставляя \(x = 1\), мы имеем:
\[f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\]

Подставляя \(x = 2\):
\[f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c\]

И подставляя \(x = 3\):
\[f(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\]

Мы знаем, что модули всех трех выражений равны 4:
\(|f(1)| = 4\)
\(|f(2)| = 4\)
\(|f(3)| = 4\)

Теперь давайте посчитаем значения \(f(1)\), \(f(2)\) и \(f(3)\):
\(f(1) = a + b + c\)
\(f(2) = 4a + 2b + c\)
\(f(3) = 9a + 3b + c\)

Из условия |f(1)| = 4, мы можем записать два возможных варианта:
\(f(1) = 4\) или \(f(1) = -4\)

Если \(f(1) = 4\), то это означает, что \(a + b + c = 4\).
Если \(f(1) = -4\), то это означает, что \(a + b + c = -4\).

Аналогично, из условия |f(2)| = 4, мы получаем два варианта:
\(f(2) = 4\) или \(f(2) = -4\)

Если \(f(2) = 4\), то это означает, что \(4a + 2b + c = 4\).
Если \(f(2) = -4\), то это означает, что \(4a + 2b + c = -4\).

Наконец, из условия |f(3)| = 4, мы получаем два варианта:
\(f(3) = 4\) или \(f(3) = -4\)

Если \(f(3) = 4\), то это означает, что \(9a + 3b + c = 4\).
Если \(f(3) = -4\), то это означает, что \(9a + 3b + c = -4\).

Теперь у нас есть система из шести уравнений с тремя неизвестными \(a\), \(b\) и \(c\):
\[
\begin{align*}
a + b + c &= 4 \quad \text{(условие |f(1)| = 4)} \\
4a + 2b + c &= 4 \quad \text{(условие |f(2)| = 4)} \\
9a + 3b + c &= 4 \quad \text{(условие |f(3)| = 4)} \\
a + b + c &= -4 \quad \text{(условие |f(1)| = -4)} \\
4a + 2b + c &= -4 \quad \text{(условие |f(2)| = -4)} \\
9a + 3b + c &= -4 \quad \text{(условие |f(3)| = -4)} \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, например, методом сложения или методом подстановки. Давайте решим систему методом подстановки.

Используя первое уравнение \(a + b + c = 4\), мы можем выразить \(a\) через \(b\) и \(c\):
\(a = 4 - b - c\) (Уравнение 1)

Теперь подставим это выражение для \(a\) во все остальные уравнения системы и попробуем найти значения \(b\) и \(c\).

Подставим (Уравнение 1) во второе уравнение \(4a + 2b + c = 4\):
\(4(4 - b - c) + 2b + c = 4\) \\
\(16 - 4b - 4c + 2b + c = 4\) \\
\(14 - 2b - 3c = 4\) \\
\(-2b - 3c = -10\) (Уравнение 2)

Подставим (Уравнение 1) в третье уравнение \(9a + 3b + c = 4\):
\(9(4 - b - c) + 3b + c = 4\) \\
\(36 - 9b - 9c + 3b + c = 4\) \\
\(32 - 6b - 8c = 4\) \\
\(-6b - 8c = -28\) (Уравнение 3)

Подставим (Уравнение 1) в четвертое уравнение \(a + b + c = -4\):
\(4 - b - c + b + c = -4\) \\
\(4 = -4\) \\
Уравнение не имеет решений. Такое не возможно в нашем случае.

Подставим (Уравнение 1) в пятое уравнение \(4a + 2b + c = -4\):
\(4(4 - b - c) + 2b + c = -4\) \\
\(16 - 4b - 4c + 2b + c = -4\) \\
\(12 - 2b - 3c = -4\) \\
\(-2b - 3c = -16\) (Уравнение 4)

Подставим (Уравнение 1) в шестое уравнение \(9a + 3b + c = -4\):
\(9(4 - b - c) + 3b + c = -4\) \\
\(36 - 9b - 9c + 3b + c = -4\) \\
\(32 - 6b - 8c = -4\) \\
\(-6b - 8c = -36\) (Уравнение 5)

Теперь у нас есть система из четырех уравнений с двумя неизвестными \(b\) и \(c\):
\[
\begin{align*}
-2b - 3c &= -10 \quad \text{(Уравнение 2)} \\
-6b - 8c &= -28 \quad \text{(Уравнение 3)} \\
-2b - 3c &= -16 \quad \text{(Уравнение 4)} \\
-6b - 8c &= -36 \quad \text{(Уравнение 5)} \\
\end{align*}
\]

Можно заметить, что уравнения 2 и 4 представляют собой одно и то же уравнение. Это означает, что система имеет бесконечное количество решений.

Данная система не имеет конкретных значений для коэффициентов a, b и c, удовлетворяющих всем условиям задачи. Однако, если был дополнительный уточняющий вопрос, или если нам нужно было найти какое-то конкретное решение, мы могли бы продолжить решение системы и найти численные значения для \(b\) и \(c\).