Какие значения переменных являются допустимыми для выражения (m+n)(k+n)/(m+k)(m+n)?

Хорошо! Для начала давайте разберемся со знаками и правилами вычислений для выражения \((m+n)(k+n)/(m+k)(m+n)\).

Выражение \((m+n)(k+n)/(m+k)(m+n)\) можно упростить, упрощая числитель и знаменатель по отдельности.

Для начала упростим числитель \((m+n)(k+n)\). Для этого, мы применим дистрибутивное свойство умножения, чтобы раскрыть скобки:

\((m+n)(k+n) = mk + mn + nk + nn\).

Теперь упростим знаменатель \((m+k)(m+n)\), также используя дистрибутивное свойство:

\((m+k)(m+n) = mm + mn + km + kn\).

Теперь мы можем записать выражение в упрощенной форме:

\(\frac{{mk + mn + nk + nn}}{{mm + mn + km + kn}}\).

Теперь обратим внимание на знаменатель и числитель. Мы видим, что у них есть общий множитель \(mn\), который можно сократить:

\(\frac{{mk + mn + nk + nn}}{{mm + mn + km + kn}} = \frac{{mn(m + k + n + \frac{{nn}}{{mn}})}}{{mn(m + k + 1 + \frac{{kn}}{{mn}})}}\).

Теперь давайте проанализируем то, какие значения переменных могут быть допустимыми.

Из упрощенной формы нашего выражения, мы видим, что знаменатель не может быть равен нулю, так как это привело бы к делению на ноль. То есть \(mn(m + k + 1 + \frac{{kn}}{{mn}})\) не может быть равно нулю.

Также, мы видим, что значение переменной \(mn\) не может быть равно нулю, поскольку это привело бы к делению на ноль.

Таким образом, допустимыми значениями переменных \(m\) и \(n\) будут любые числа, кроме нуля, а значение переменной \(k\) может быть любым числом.

В итоге, допустимыми значениями переменных для выражения \((m+n)(k+n)/(m+k)(m+n)\) будут:

\(m, n \neq 0\), \(k\) - любое число.