Какие значения параметра a удовлетворяют условию, что уравнение 3cos2x-(a^2-8a+6)sinx=3 имеет 4 корня на интервале

Чтобы определить значения параметра \( a \), при которых уравнение \( 3\cos(2x) - (a^2-8a+6)\sin(x) = 3 \) имеет четыре корня на интервале \([0, 2\pi]\), мы можем выполнить следующие шаги:

1. Сначала, давайте подумаем о количестве корней, которые может иметь это уравнение. Уравнение имеет вид \( f(x) = 3\cos(2x) - (a^2-8a+6)\sin(x) - 3 = 0 \). Обратите внимание, что это тригонометрическое уравнение, а функция \( f(x) \) кусочно-непрерывна на интервале \([0, 2\pi]\). Важно отметить, что \( f(x) \) будет иметь не более \( n \) корней на интервале \([0, 2\pi]\), где \( n \) - максимальное количество точек пересечения с осью \( x \).

2. Поскольку у нас есть \( \cos(2x) \) и \( \sin(x) \), количество точек пересечения \( f(x) \) с осью \( x \) будет зависеть от количества корней у каждой из функций \( \cos(2x) \) и \( \sin(x) \).

3. Обратимся к функции \( \cos(2x) \). Уравнение \( \cos(2x) = 0 \) имеет один корень на интервале \([0, 2\pi]\) в точке \( x = \dfrac{\pi}{4} \).

4. Теперь рассмотрим функцию \( \sin(x) \). Уравнение \( \sin(x) = 0 \) имеет два корня на интервале \([0, 2\pi]\), это \( x = 0 \) и \( x = \pi \).

5. Теперь посмотрим на функцию \( (a^2-8a+6) \). Это уравнение является квадратным и может иметь ноль, один или два корня в зависимости от дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения \( (a^2-8a+6) \) равен \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \), или в более простой форме, \( D = 64 - 24 = 40 \).

6. Различные случаи, которые мы рассмотрим:
- Из предыдущего пункта мы знаем, что функция \( (a^2-8a+6) \) имеет два различных корня при \( D > 0 \).
- Когда \( D > 0 \), функция \( (a^2-8a+6) \) будет иметь два корня \( a_1 \) и \( a_2 \). В этом случае, уравнение \( 3\cos(2x) - (a^2-8a+6)\sin(x) = 3 \) будет иметь \( n \) корней на интервале \([0, 2\pi]\), если выполнены следующие условия:
- Когда \( a < a_1 \) или \( a > a_2 \), уравнение будет иметь четыре корня.
- Когда \( a = a_1 \) или \( a = a_2 \), уравнение будет иметь три корня.
- В противном случае, уравнение будет иметь два корня или меньше.

7. Остался ещё один случай, когда \( D = 0 \). Если \( D = 0 \), то у нас есть только один корень \( a = \dfrac{8}{2} = 4 \) для функции \( (a^2-8a+6) \). В этом случае, уравнение будет иметь два корня \( x = \dfrac{\pi}{4} \) и \( x = \dfrac{5\pi}{4} \), так как функция \( \cos(2x) \) имеет один корень, а функция \( \sin(x) \) имеет два корня.

Итак, в результате наших расчетов, значения параметра \( a \), при которых уравнение \( 3\cos(2x) - (a^2-8a+6)\sin(x) = 3 \) имеет четыре корня на интервале \([0, 2\pi]\), - это значения \( a \), которые меньше корня \( a_1 \), больше корня \( a_2 \), или равны корню \( a_1 \) или корню \( a_2 \), если \( D > 0 \). Если \( D = 0 \), уравнение будет иметь четыре корня только при \( a = 4 \). Учтите, что эти значения могут быть примерными, пока мы не знаем точных значений \( a_1 \) и \( a_2 \).