Какие значения параметра а приводят к ситуации, где система уравнений имеет три уникальных решения?

Чтобы определить значения параметра \(a\), при которых система уравнений имеет три уникальных решения, давайте сначала посмотрим на саму систему уравнений. Предположим, у нас есть система линейных уравнений вида:

\[
\begin{align*}
ax + y &= 5 \\
2x + 3y &= 7 \\
\end{align*}
\]

Для того чтобы система имела три уникальных решения, необходимо, чтобы уравнения были независимыми и совместными. Давайте разберемся, как это можно достичь.

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными, \(x\) и \(y\). Для начала, давайте посмотрим на систему и попробуем решить ее методом исключения переменных.

Выразим переменную \(x\) из первого уравнения:

\[
x = \frac{5-y}{a} \quad \text{(Уравнение 1)}
\]

Теперь, подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:

\[
2\left(\frac{5-y}{a}\right) + 3y = 7 \quad \text{(Уравнение 2)}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{10-2y}{a} + 3y = 7
\]

Избавимся от дроби, умножив каждый член уравнения на \(a\):

\[
10 - 2y + 3ay = 7a
\]

Теперь сгруппируем все члены с \(y\) в одну часть уравнения:

\[
3ay - 2y = 7a - 10
\]

Факторизуем \(y\) слева:

\[
y(3a - 2) = 7a - 10
\]

И разделим обе части уравнения на \((3a - 2)\):

\[
y = \frac{7a - 10}{3a - 2} \quad \text{(Уравнение 3)}
\]

Таким образом, мы получили выражение для переменной \(y\) через параметр \(a\).

Теперь, чтобы система имела три уникальных решения, необходимо, чтобы эти решения не совпадали, то есть это должны быть разные значения переменных \(x\) и \(y\). Это означает, что выражения для \(x\) и \(y\) не должны сокращаться до одного значения.

Так как \(x\) выражается через \(y\) в уравнении (1) и \(y\) выражается через \(a\) в уравнении (3), необходимо убедиться, что \(x\) и \(y\) зависят от \(a\) по-разному. Иными словами, нужно избежать сокращений или равенства выражений для \(x\) и \(y\).

Если выражение для \(x\) и выражение для \(y\) имеют разные значения для любого значения параметра \(a\), то система будет иметь три уникальных решения.

Таким образом, значения параметра \(a\) следует выбирать таким образом, чтобы числитель и знаменатель в уравнении (1) и числитель и знаменатель в уравнении (3) не сокращались и не были равными нулю одновременно.

Теперь, если полученное выражение для \(y\) имеет три различных значений при подстановке различных значений параметра \(a\), то система будет иметь три уникальных решения.

Надеюсь, это разъяснение поможет вам лучше понять, как выбрать значения параметра \(a\), чтобы система уравнений имела три уникальных решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!