Какая область значений функции и четная или нечетная она: y = x^2/(1+x) + x^2/(1-x)?

Для начала определим область значений функции \(y = \frac{x^2}{1+x} + \frac{x^2}{1-x}\).

Область значений функции - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать. Чтобы определить область значений, давайте рассмотрим различные значения переменной \(x\) и посмотрим, что происходит с функцией.

В данном случае у нас есть два слагаемых, каждое из которых имеет переменную \(x\) в знаменателе. Обратите внимание, что оба знаменателя не могут быть равны нулю одновременно, поскольку это привело бы к неопределенности функции.

Рассмотрим значения \(x\) такие, что \(1 + x = 0\). Из этого уравнения получаем \(x = -1\). Подставим это значение обратно в исходную функцию:

\[y = \frac{(-1)^2}{1+(-1)} + \frac{(-1)^2}{1-(-1)} = \frac{1}{0} + \frac{1}{2} = \infty + \frac{1}{2}\]

Как видим, получаем бесконечность, значит, функция не определена при \(x = -1\).

Таким образом, область значений функции состоит из всех вещественных чисел, кроме нуля. Обозначим это следующим образом:

\[D: R \setminus \{0\}\]

Чтобы узнать, является ли функция четной или нечетной, рассмотрим ее симметрию относительно оси \(y\) и оси \(x\).

Функция \(y = x^2/(1+x) + x^2/(1-x)\) является четной, если выполняется условие: \(f(x) = f(-x)\) для любого \(x\).

Рассмотрим, \(f(-x)\):

\[f(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)} + \frac{(-x)^2}{1-(-x)} = \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^2}{1+x}\]

Как видим, функция \(f(x)\) равна функции \(f(-x)\), значит, она является четной функцией.

Подведем итог:

- Область значений функции: \(D: R \setminus \{0\}\)
- Функция \(y = x^2/(1+x) + x^2/(1-x)\) является четной.