Какие значения параметра a приводят к наличию ровно двух различных решений системы уравнений log7(36 - y²) = log7(36

Давайте рассмотрим данную систему уравнений подробно.

У нас есть два уравнения:

1) log7(36 - y²) = log7(36 - a²x²)
2) x² + y² = 2x

Для начала избавимся от логарифмов в первом уравнении. Используя свойство логарифма \(\log_a b = \log_a c \Rightarrow b = c\), получим:

36 - y² = 36 - a²x²

Теперь упростим уравнение:

y² = a²x²

Перепишем второе уравнение с использованием зависимости \(x^2 + y^2 = 2x \Rightarrow y^2 = 2x - x^2\):

2x - x² = a²x²

Теперь объединим полученные уравнения:

2x - x² = a²x²

Для дальнейшего решения уравнения приведем его к стандартному виду, выведя все слагаемые в одну сторону и извлекая корень:

x²(1 + a²) - 2x + 0 = 0

Получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b² - 4ac\), где \(a = (1 + a²)\), \(b = -2\) и \(c = 0\).

Теперь можно рассмотреть возможные варианты:

1) Если \(D > 0\), то есть два различных корня у уравнения, соответственно, у системы будет ровно два различных решения.

2) Если \(D = 0\), то есть один корень у уравнения, следовательно, у системы будет только одно решение.

3) Если \(D < 0\), то есть нет корней у уравнения, значит, система не имеет решений.

Вычислим дискриминант:

D = (-2)² - 4 * (1 + a²) * 0
D = 4 - 4 * (1 + a²) * 0
D = 4

Так как дискриминант D > 0, значит, у системы будет ровно два различных решения при любом значении параметра a.

Таким образом, ответом на задачу является: любые значения параметра a приводят к наличию ровно двух различных решений системы уравнений log7(36 - y²) = log7(36 - a²x²) и x² + y² = 2x.