Какие значения параметра a приведут к системе уравнений x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0; √(x^2+(y-a)^2) + √(x+4)^2+(y-a)^2)=4

Система уравнений, которую вам нужно решить, состоит из двух уравнений:

1) \(x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0\)
2) \(\sqrt{x^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x+4)^2 + (y-a)^2} = 4\)

Для того чтобы система имела только одно решение, необходимо, чтобы и уравнение (1), и уравнение (2) имели одинаковый корень.

Давайте рассмотрим первое уравнение. Это квадратное уравнение относительно переменной \(x\) с параметром \(a\). Чтобы узнать, какие значения параметра \(a\) приведут к системе уравнений с одним решением, воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

Для уравнения (1) коэффициенты такие: \(a = 1\), \(b = 2a-2 = 2(a-1)\), \(c = a^2 - 2a - 3\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (2(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2a - 3)\]

Упростим выражение:

\[D = 4(a^2 - 2a + 1) - 4(a^2 - 2a - 3)\]
\[D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 8a + 12\]
\[D = 16\]

Дискриминант равен 16. Значит, уравнение (1) имеет два различных корня для всех значений параметра \(a\), кроме случая, когда дискриминант равен нулю, то есть когда \(D = 0\).

Перейдем ко второму уравнению. Для удобства, обозначим \(\sqrt{x^2 + (y-a)^2}\) как \(d_1\), а \(\sqrt{(x+4)^2 + (y-a)^2}\) как \(d_2\). Тогда уравнение (2) можно записать в виде:

\[d_1 + d_2 = 4\]

Условие задачи требует, чтобы это уравнение имело только одно решение. Чтобы это было выполнено, необходимо и достаточно, чтобы точка \((x, y)\), в которой выполняется уравнение, находилась на окружности с центром в точке с координатами \((-4, a)\) и радиусом 4. Это означает, что расстояние от точки \((x, y)\) до точки \((-4, a)\) должно быть равно 4.

Мы можем записать это в виде уравнения:

\(\sqrt{(x+4)^2 + (y-a)^2} = 4 - \sqrt{x^2 + (y-a)^2}\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\((x+4)^2 + (y-a)^2 = (4 - \sqrt{x^2 + (y-a)^2})^2\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2 + 8x + 16 + y^2 - 2ay + a^2 = 16 - 8\sqrt{x^2 + (y-a)^2} + x^2 + (y-a)^2\)

Упрощаем выражение:

\(8x + 2ay - 8\sqrt{x^2 + (y-a)^2} + a^2 = 0\)

Теперь мы можем заметить, что коэффициенты при переменных \(x\) и \(y\) в этом уравнении равны нулю. То есть, уравнение представляет собой линейное уравнение вида \(Ax + By + C = 0\), где \(A = 8\), \(B = 2a\), \(C = a^2 - 8\).

Чтобы это уравнение имело только одно решение, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\) удовлетворяли условию \(A^2 + B^2 \neq 0\). В данном случае это означает, что сумма квадратов коэффициентов \(A\) и \(B\) не должна быть равна нулю.

Вычислим эту сумму:

\(A^2 + B^2 = 8^2 + (2a)^2 = 64 + 4a^2\)

Таким образом, для того чтобы система уравнений имела только одно решение, сумма квадратов коэффициентов должна быть отличной от нуля:

\(64 + 4a^2 \neq 0\)

Решим данное неравенство:

\(4a^2 \neq -64\)
\(a^2 \neq -16\)

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, получаем, что уравнение \(a^2 + 16 = 0\) не имеет решений. Следовательно, система уравнений не имеет значений параметра \(a\), при которых она имела бы только одно решение.

Таким образом, не существует значений параметра \(a\), для которых система уравнений имеет только одно решение. Сумма этих значений равна неопределенности.