Какие значения параметра a делают уравнение sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a не имеющими действительных корней?

Чтобы уравнение не имело действительных корней, нам нужно, чтобы его график не пересекалось с осью Ox. Для того чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться методом дискриминанта.

Для начала, давайте перепишем наше уравнение в виде:
\[\sin(x + 4a) + \sin\left(\frac{x^2 - 6x - 7a}{2}\right) = 4x - x^2 - a\]

Теперь воспользуемся свойствами синуса и разложим его в сумму двух синусов:
\[\sin(x)\cos(4a) + \cos(x)\sin(4a) + \sin\left(\frac{x^2 - 6x - 7a}{2}\right) = 4x - x^2 - a\]

Для удобства, обозначим \(b = \frac{x^2 - 6x - 7a}{2}\), чтобы сократить длину формулы. Получим:
\[\sin(x)\cos(4a) + \cos(x)\sin(4a) + \sin(b) = 4x - x^2 - a\]

Заметим, что \(\sin(x)\cos(4a) + \cos(x)\sin(4a)\) является синусом суммы углов, поэтому можно записать его как \(\sin(x + 4a)\). Теперь уравнение примет вид:
\[\sin(x + 4a) + \sin(b) = 4x - x^2 - a\]

Используем теперь тригонометрическое тождество для синусов суммы углов:
\[\sin(x + b) = 4x - x^2 - a\]

Теперь, чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо искать значения параметра \(a\), при которых график функции \(\sin(x + b)\) не пересекает ось Ox.

Мы знаем, что график функции \(\sin(x + b)\) имеет период \(2\pi\), то есть коэффициент \(b\) должен быть кратен \(2\pi\).

Подставляя обратно значение \(b\), получим:
\[\frac{x^2 - 6x - 7a}{2} = 2\pi k\]

Где \(k\) - целое число. Теперь решим это уравнение относительно \(a\). Распишем его в виде:
\[x^2 - 6x - 7a = 4\pi k\]

Используя квадратное уравнение, получим:
\[a = \frac{x^2 - 6x - 4\pi k}{7}\]

Таким образом, значения параметра \(a\), при которых уравнение не имеет действительных корней, будут определяться формулой:
\[a = \frac{x^2 - 6x - 4\pi k}{7}\]

Где \(k\) - целое число.