Какие значения необходимо найти для данного уравнения гиперболы 11х^2-25y^2-275=0? Какие координаты фокусов и вершин

Давайте рассмотрим вашу задачу по порядку.

1. Значения x и y, которые необходимо найти для данного уравнения гиперболы \(11x^2 - 25y^2 - 275 = 0\):

Для определения значений x и y, нужно выразить y через x или x через y, чтобы получить уравнение вида \(y = f(x)\) или \(x = g(y)\). В данном случае, чтобы привести уравнение к каноническому виду, воспользуемся делением на коэффициенты перед x^2 и y^2:

\[\frac{{11x^2}}{{275}} - \frac{{25y^2}}{{275}} - 1 = 0\]

Делая замену \(X = \frac{{x}}{{\sqrt{275}}}\) и \(Y = \frac{{y}}{{\sqrt{11}}}\), получим:

\[X^2 - Y^2 - 1 = 0\]

Теперь можем переписать уравнение в следующем виде:

\[X^2 - Y^2 = 1\]

Это уравнение гиперболы в стандартной форме. Используя формулу гиперболы, где a и b - полуоси, можно увидеть, что значения \(a = \sqrt{1}\) и \(b = \sqrt{1}\).

Таким образом, значения \(x\) и \(y\) равны \(\pm \sqrt{275}\) и \(\pm \frac{{\sqrt{11}}}{\sqrt{25}}\sqrt{275}\), соответственно.

2. Координаты фокусов и вершин:

Для определения координат фокусов и вершин гиперболы, воспользуемся формулами. Для гиперболы в стандартной форме \(X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1\):

- Фокусы гиперболы находятся на оси \(X\) и смещаются относительно начала координат на расстояние \(c\), где \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). В данном случае, \(a = b = 1\), значит \(c = \sqrt{2}\). Таким образом, координаты фокусов будут \((\sqrt{2}, 0)\) и \((- \sqrt{2}, 0)\).

- Вершины гиперболы находятся на оси \(X\) в точках с координатами \((\pm a, 0)\). В данном случае, \(a = 1\), значит координаты вершин будут \((-1, 0)\) и \((1, 0)\).

3. Уравнения асимптот:

Уравнения асимптот для гиперболы задаются формулой \(Y = \pm \frac{{b}}{{a}}X\). В данном случае, \(a = b = 1\), поэтому уравнения асимптот будут иметь вид \(Y = \pm X\).

4. Острый угол между асимптотами:

Для определения острого угла между асимптотами, воспользуемся формулой \(tg(\alpha) = \frac{{b}}{{a}}\), где \(\alpha\) - это угол между асимптотами, \(a = b = 1\). Таким образом, \(tg(\alpha) = 1\) и \(\alpha = 45^\circ\).

5. Построение графика гиперболы:

Чтобы построить график гиперболы, можно использовать найденные значения фокусов, вершин и уравнения асимптот. Нарисуем оси координат и отметим точки фокусов \((\sqrt{2}, 0)\) и \((- \sqrt{2}, 0)\), а также вершины \((-1, 0)\) и \((1, 0)\). Затем проведем асимптоты \(Y = \pm X\), которые будут пересекаться в начале координат. Наконец, используя найденные значения \(x\) и \(y\), нарисуем график гиперболы.

Надеюсь, этот ответ помог вам лучше понять гиперболу и решить данную задачу.